Emia La Concha

DETERMINANTE DE WRONSKI O WRONSKIANO
Definición:
Al determinante formado por dos funciones y1(x) e y2(x) y sus derivadas primeras y1'(x) y y2'(x) se lo llama DETERMINANTE DE WRONSKI OWRONSKIANO
Se simboliza: W(y1(x),y2(x)) = %y1(x) y2(x)%
%y1'(x) y2'(x)%
Generalización:
Si tenemos n funciones y1(x),y2(x),..,yn(x)
%y1 y2 ..........yn %
W(y1(x),y2(x),..,yn(x))=%y1' y2'..........yn'%
%.......................%
%y1(n-1)y2(n-1)..yn(n-1)%
Propiedades del Wronskiano:
1) Si y1(x) e y2(x) son funciones L.D en un intervalo [a,b], entonces elwronskiano de y1 e y2 se anula en todo punto de dicho intervalo (es idénticamente nulo).
Dem:
Por hipótesis y1(x) e y2(x) son L.D, es decir y1(x)/y2(x)=K(cte)o y1(x)=K.y2(x)
Derivamos: y1'(x)=K.y2'(x)
Armamos el wronskiano:
W(y1,y2)= % y1(x) y2(x) % = % K.y2(x) y2(x) % = K.y2.y2' - K.y2'.y2 = 0
% y1'(x) y2'(x)% % K.y2'(x) y2'(x)%
2) Si y1(x) e y2(x) son funciones L.I en[a,b], entonces W(y1(x),y2(x)) no se anula en ningun punto del intervalo
Dem:
Intentaremos demostrarlo por el absurdo. Supongamos que w(y1,y2) se anula en algun punto del [a,b], es decir:W(y1,y2) = %y1(x) y2(x) % = 0
%y1'(x) y2'(x)%
y1.y2' - y1'.y2 = 0
como por hipótesis y1(x) e y2(x) son L.I entonces y1(x)"0 e y2(x)"0. Podemos dividir por y1²(x):(y1.y2'-y1'.y2)/y1²(x)= 0
El primer miembro de la igualdad es la derivada del cociente entre y2 e y1:
(y2/y1)' = 0 ! integro !y2/y1 = K (cte)
Luego: y2 = K.y1
Esto significa que y1 e y2 son L.D, lo quecontradice la hipótesis, luego, el W(y1,y2) no se anula en ningún punto.
Conclusión:
La solución general de la ecuación an.y(n)+an-1.y(n-1)+...+a2.y''+a1.y'+a0.y = 0 es una combinaciónlineal de `n' soluciones linealmente independientes, es decir:
Y= C1y1(x) + C2y2(x) +.....+ Cnyn(x) siendo y1(x),y2(x),...,yn(x) funciones L.I y soluciones particulares de la ecuación.