Empotramiento

CAPÍTULO 6 TEOREMAS ENERGÉTICOS

LA ENERGÍA ELÁSTICA EXPRESADA EN FUNCIÓN DE LAS CARGAS APLICADAS
Hasta ahora, habíamos utilizado la siguiente expresión de la densidad de energía elástica:

1 ω = (σ xε x+σ yε y + σ z ε z+τ xyγ xy + τ yzγ yz + τ xzγ xz ) 2
Que, integrada a lo largo de todo el sólido, nos proporcionaba la energía elástica almacenada por éste.

¿Podríamos expresar dichaenergía en función de las cargas aplicadas al sólido o en función de los desplazamientos que en él se producen?

Supongamos que las cargas aplicadas al sólido crecen, progresivamente, desde cero hasta su valor final de una manera continua. En ese caso, el trabajo W realizado por todas las cargas que actúan sobre el sólido quedaría almacenado como energía elástica de deformación U en el sólido y,por tanto:

U =W

El trabajo realizado por las cargas exteriores aplicadas a un sólido es la mitad de la suma del producto de dichas cargas por los desplazamientos de sus puntos de aplicación (en las dirección de las mismas, por supuesto). Fi i

∆i

r

1 n W = ∑ Fi ⋅ d i 2 i =1

di
Geometría sin deformar

Geometría deformada

Si entre las cargas aplicadas existiera algún momento,bastaría con tener en cuenta que: - donde se dijera fuerza se debería decir momento - donde se dijera desplazamiento se debería decir giro - donde se expresara trabajo (W=Fd, en el caso de fuerzas) se debería escribir W=Mθ.

F1 F2 2 1 F2 2

∆1

F1

∆2
d2

d1
1

EJEMPLOS:
P

W=1/2 P.d
d

M

θ

W=1/2 M.θ

ENERGÍA ELÁSTICA ALMACENADA POR UNA BARRA A TRACCIÓN

x F

1 W= Fo xo 2
F σ= A

L A

d F

FL d =ε ⋅L = ⋅L = E AE 2 F L 1 W = U = Fd = 2 2 AE

σ

COEFICIENTES DE INFLUENCIA
Consideremos dos puntos i y j del sólido sobre los que actúan, respectivamente, las cargas:

Fi

r Fi

r Fj

∆
i

ji

∆

j

Representemos por los vectores desplazamientos, de manera tal que:

r ∆

ii

∆ii
Fj

r

= vector desplazamiento del punto icuando sólo actúa la carga: r Fi = vector desplazamiento del punto j cuando sólo actúa la carga: r Fi

r ∆ ji

Si sobre el sólido actúa un sistema de cargas:

r r r F1 , F2 ,......Fn
∆i
r
en el punto i será:

en los puntos: 1,2,……n, el vector desplazamiento total

Fi

∆i = ∆i 1 + ∆i 2 + ........ + ∆in
d ij
j

r

r

r

r

i

d ij

1

= coeficiente de influencia:proyección del desplazamiento que experimenta el punto r i , sobre la recta de acción de Fi cuando se aplica una carga unidad en el punto j con la r misma dirección y sentido que F j

di

= proyección del vector desplazamiento del punto i, según la dirección de r la fuerza F cuando actúan todas las cargas
i

d i = d i 1 ⋅ F1 + d i 2 ⋅ F2 + ........ + d in ⋅ Fn

FÓRMULAS DE CLAPEYRONEmile CLAPEYRON (1799-1864)

1 n U =W = ∑ Fi ⋅ d i 2 i =1
Como: d i = d i 1 ⋅ F1 + d i 2 ⋅ F2 + ........ + d in ⋅ Fn

1 U =W = 2

∑∑

n

n

d ij Fi F j

i =1 j =1

Cabe otra expresión alternativa a la anterior si consideramos que, del sistema de n ecuaciones: d i = d i1 ⋅ F1 + d i 2 ⋅ F2 + ........ + d in ⋅ Fn despejáramos las fuerzas:

F j = k j 1 ⋅ d 1 + k j 2 ⋅ d 2 + ........ +k jn ⋅ d n

1 n 1 n n U =W = ∑ Fj ⋅ d j = ∑ ∑ k jm d j d m 2 j =1 2 j = 1m = 1

PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES
Se denomina desplazamiento virtual de un punto a un desplazamiento arbitrario, concebido matemáticamente y que no tiene lugar en la realidad, pero que es geométrica y físicamente posible. El sistema al que se aplica este Principio debe encontrarse en equilibrio Jean Baptiste LeRond D’ALEMBERT (1717-1783)

Caso de una partícula puntual
F1 P F2 y x F3 δ F2 P’

z

F1

δ

r

= desplazamiento virtual

F3

r r r r r r r R = F1 + F2 + F3 = R x i + R y j + R z k r r r r δ = δ xi + δ y j + δ z k

r r r r r r rr T = F1δ + F2δ + F3δ = Rδ = 0 r r como R = 0, T=0 r ∀δ

Caso de un sólido rígido
F1 i Fin .. Fi2 Fi3

r Fi = fuerza exterior aplicada al sólido...