Empréstito Normal

EMPRÉSTITO NORMAL: Se caracteriza por ser de cupón periódico, término amortizativo pagadero por el emisor y cupón constantes, y no presentar ninguna otra característica especial.
El pago del emisor se destina a retribuir con un cupón periódico constante a los títulos en circulación (C x i x Nk) y a amortizar por el nominal los títulos que corresponda (C x Mk).
La estructura del términoamortizativo (en adelante anualidad práctica) será:
a = Amortización (Ak=C x Mk) + Intereses (Ik=C x i x NK)
a = C x Mk + C x i x NK, k=0, 1, …, n
donde:
C es el valor nominal de cada título;
MK los títulos amortizados en el año y
NK los títulos vivos.
 
Gráficamente, el esquema de cobros y pagos que origina para el emisor un empréstito de N1 títulos, de nominal C, cupón periódico C x i, conuna duración de n períodos y términos amortizativos constantes (a), es el siguiente:
 

 
Donde C x N1 representa el importe nominal del empréstito, n el número de pagos (términos amortizativos) en los que se amortiza, i el tipo de interés del cupón y a es el importe del término amortizativo constante.

Este empréstito, considerado globalmente, es un préstamo francés.

Se trata de ver los cálculosa realizar con el fin de construir el cuadro de amortización del empréstito, esto es, saber la cantidad a pagar en cada momento (término amortizativo) y su descomposición en cuota de amortización (C x Mk) y cuota de interés (C x i x Nk).

Cálculo del término amortizativo (a):
Los pagos constantes que se realizan durante la vida del empréstito incorporan, en parte el coste del aplazamiento (pago decupones), en parte la devolución de una porción de la deuda (amortización de títulos). Para calcular el término amortizativo bastaría con plantear una equivalencia financiera en el momento 0 entre el nominal del empréstito y la renta formada por los términos amortizativos:
 

 
resultando:
 
 de donde se despeja el término a:
 
 Es lo que se denomina el término amortizativo teórico (adiferencia de los que aparecen en el cuadro que se les conoce como términos amortizativos prácticos o reales).
Dada la estructura del término amortizativo (a) constante e ir disminuyendo la parte del mismo destinada al pago de cupones, porque va siendo cada vez menor el número de títulos en circulación que tienen derecho a cobrarlo (va siendo menor la cantidad de títulos vívos), el valor destinado areembolsar títulos necesariamente tendrá que ir creciendo y, por tanto, el número de títulos amortizados en cada sorteo (va creciendo el nº títulos amortizados).

Se plantea la necesidad de saber cómo se obtiene el número de títulos que en cada sorteo resultan amortizados. Se observa que varían siguiendo una progresión geométrica de razón (1 + i), por tanto, cualquier Mk se puede calcular a partir delanterior, del primero o de cualquiera conocido. El primero se calculará de la siguiente forma:

Como: M1 + M1 x (1 + i) + M1 x (1 + i)2 + ... + M1 x (1 + i)n-1 = N1
Simplificando la expresión: M1 x [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + ... + (1 + i)n-1] = N1
donde el corchete es el valor final de una renta unitaria, pospagable e inmediata de n términos, por tanto:

de donde:

Cálculode títulos vivos a principios de cada período (Nk+1):
 Podemos plantear este cálculo de varias formas:
 

 
1.ª posibilidad: A través de los títulos amortizados
* Método retrospectivo: considerando títulos ya amortizados:

* Método prospectivo: considerando los títulos pendientes de amortizar:

2.ª posibilidad: A través de términos amortizativos
Al trabajar con los términos amortizativosse deberán hacer de forma financiera (no bastará con sumar y restar aritméticamente, como en el caso anterior) puesto que los términos incorporan intereses y principal; habrá que mover financieramente las cantidades correspondientes.
 
 
• Método retrospectivo, a través de los términos amortizativos pasados.
 

Se ha de cumplir la equivalencia en el momento elegido (k) entre lo que le supone al...