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GUÍA DE EJECICIO # 4 PROCESOS DE RENOVACION

1. La vida útil aleatoria X de una ampolleta tiene un función de falla h(t) = t.
• Calcule P( X> 2 años)
• ¿Cuál es la función de densidad de la probabilidad de X?
• Calcule E(X) y VAR(X)


2. La tasa de falla de una cierta componente esta dada por la distribución de Weibul con
β = 2. Si R(t)es la función de confiabilidad.
• Muestre que las primeras diferencias de Log R(t+Δt) –LogR(t) es una función lineal de t para cualquier incremento Δt.
• Después de probar un gran número de componentes, los investigadores observan que el 15% de los componentes han durado masa de 90 horas fallan antes de las 100 horas. Use esta información para obtener la tasa de falla3. Suponga una componente eléctrica esta sujeta a sobre cargas que ocurren de acuerdo a Poisson de tasa β: Si las componentes pueden soportar una sobrecarga, pero fallan al recibir la segunda.
• Demuestre que la vida útil de la componente es una distribución Gama de parámetros 2, β
• Determine la tasa de falla h(t), grafíquela y demuestre que h(t) = β para t grande.4. Si la función de falla de Weibul satisface h(t) = β + λ t α-1 con los parámetros positivos. Calcule la función de confiabilidad R(t) para esta distribución.


5. Si usted dispone de un garaje donde cabe un solo automóvil para instalar ahí un negocio de lavado y secado de autos de tal forma de hacer ambas operaciones consecutivamente en el mismo lugar. Si todo auto que lleguey encuentra el garaje ocupado va y los autos llegan de acuerdo a Poisson de tasa λ/ hr. y los tiempos de lavado y secado son exponenciales de tasas µ y β respectivamente
• Modele la condición estacionaria de este proceso.
• ¿Cuál es el promedio entre dos sucesivas renovaciones?


6. Sea N(t) un proceso de renovación con una valor medio M(t): Sea f(x) la funcióndensidad de probabilidades y F(x) la distribución cumulativa de X.
• Suponga que las primeras renovaciones ocurren a tiempo X demuestre que. E(N(t)/X) ={[pic]
• Use la parte a para demostrar que M(t) satisface la ecuación de renovación M(t) = F(t) + [pic]
• Sea m(t) = d/dt(M(t) demuestre que se cumple m(t) = f(t) +[pic]
• Si m(t)= λ constante Use laparte c para encontrar f(x).


7. Para una cola M/G/ 1 De capacidad 1 y con una tasa de llegada β y tiempo de distribución cumulativo G(t) demuestre que la distribución cumulativa del largo del ciclo queda dada por F(t) = β [pic]


8. Considere una cola M/M/1 de capacidad de espera 1 y tasa de llegada λ distinta de su tasa de servicio µ.
• Use la formulas delejercicio 7) para demostrar que la densidad de probabilidades del largo del ciclo es f(t) = λµ( e –λt – e-µt )/(µ - λ)
• Muestre que el límite se µ y λ de la parte a ( se concierten en una distribución gamma de parámetros (2, λ)


9. Considere un proceso de renovación de intervalos X1, X2, Xn. Sea E(Xi) = δ , VAR(Xi) = finitos. Sea Sn la suma de las longitudes delos primeros n intervalos y Fn(t) la distribución cumulativa de la de la función Sn . Use Cheycheff para demostrar que Fn(t) = nσ 2 /(nδ –t)2 cuando n> δ/t


10. Sea Fn(t) y f(t) definidas como en el ejemplo anterior
• Use el argumento de renovación y demuestre que cualquier entero positivo k y m se cumple: F k, m = [pic]
• Use a para demostrar que que Fk,m ≤ Fk(t) Fm(t)
• Para t > 0 use los resultados anteriores para encontrar cte ρ 0 tal que Fn(t) ≤ C ρ n para n= 1,2


11. Suponga que X1 X2 es una secuencia de variables independiente de Bernoulli con probabilidades de éxito p
• Defina N= min( n/ X1+ X2 ++ Xn = 5) Demuestre que n es una variable de paro de la secuencia.
• Defina N= 2 si X2...