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´ ´ AMPLIACION DE CALCULO (Curso 2002/2003)

Examen Final de Febrero 29.01.03

Soluci´n del o PROBLEMA 1 (4 puntos) 1) Calcular la transformada de Laplace de las funciones sen x y eax , donde a ∈ R. 2) Se considera el siguiente sistema de ecuaciones integrales en las inc´gnitas f (x) y g(x): o   f (x) = 1 − ex + 2       g(x) = 1 + 
0 x x

e
0

x−t

x

g(t)dt −
0 x

f(t)dt

g(t)dt − 2
0

et−x f (t)dt

Se pide: a) Calcular las transformadas de Laplace de f y g. b) Obtener f y g. Respuesta:

1) La transformada de Laplace de la funci´n sen x, que representaremos por L[sen x](p), es, por o
definici´n: o L[sen x](p) =
0 ∞

sen x e−xp dx.

Para calcularla integramos por partes. Eligiendo u = sen x y dv = e−xp dx se obtiene: 1 L[sen x](p) = − e−xp sen x p∞

+
0

1 p

∞ 0

cos x e−xp dx =

1 p

∞ 0

cos x e−xp dx.

donde debe ser Rep > 0 para que el t´rmino no integral se anule. Integrando de nuevo por partes e con u = cos x y dv = e−xp dx resulta: 1 L[sen x](p) = − 2 e−xp cos x p
∞ 0

1 − 2 p

∞ 0

sen x e−xp dx =

1 1 − 2 L[sen x](p). 2 p p

donde nuevamente se ha tenido en cuenta que Rep > 0. Finalmente, despejandoen esta ultima ´ ecuaci´n se obtiene el resultado buscado: o L[sen x](p) = 1 , 1 + p2 (Rep > 0).

Adem´s, de este c´lculo tambi´n se obtiene la transformada de Laplace de la funci´n cos x que a a e o es: L[cos x](p) = p L[sen x](p) = p/(p2 + 1), (Rep > 0). En cuanto a la transformada de Laplace de la funci´n eax (a ∈ R), que representaremos por o ax L[e ](p), su c´lculo es inmediato: a L[e ](p) =0 ax ∞

e e

ax −xp

e−(p−a)x dx = − p−a

∞

=
0

1 , p−a

(Rep > a).

2-a) Para calcular las transformadas de Laplace de las funciones f y g, que representaremos, respectivamente, por L[f (x)](p) y L[g(x)](p), aplicamos la transformada a las dos ecuaciones que componen

el sistema dado. Para ello, se deben utilizar las siguientes propiedades: 1 L[1](p) = ; p
x

L[ex ](p)=

1 ; p−1

x

L
0

h(t)dt (p) =

1 L[h(x)](p); p

L
0 x

ex−t f (t)dt (p) = L[ex ](p) L[f (x)](p) = et−x g(t)dt (p) = L[e−x ](p) L[g(x)](p) =

L[f (x)](p) ; p−1 L[g(x)](p) . p+1

L
0

donde, en las dos ultimas f´rmulas, se ha tenido en cuenta que la transformada de Laplace del ´ o producto de convoluci´n de dos funciones es el producto de las transformadas de Laplace decada o una de las funciones. En estas condiciones, al transformar el sistema de ecuaciones integrales (teniendo en cuenta la linealidad de la transformada de Laplace) se llega al siguiente sistema lineal de dos ecuaciones con dos inc´gnitas que son las dos transformadas buscadas: o  1  p + 1 L[f (x)](p) − 2 L[g(x)](p) = ,   p  p−1 p(1 − p)     2 p−1 1 L[f (x)](p) + L[g(x)](p) = . p+1 p pResolviendo este sistema lineal se obtiene finalmente: L[f (x)](p) = p+1 p2 + 1
2

,

L[g(x)](p) =

p3 + p2 + p − 1 . (p2 + 1)2

2-b) Para calcular f y g hay que invertir las dos transformadas obtenidas en el apartado anterior.
Empezamos por f cuya transformada se puede considerar como el producto de dos transformadas iguales. Es decir, si h es una funci´n tal que L[h(x)](p) = (p + 1)/(p2+ 1), entonces o L[f (x)](p) = L[h(x)](p) L[h(x)](p) y, por tanto, la transformada inversa que nos da la funci´n f es la convoluci´n de h con ella misma; o o x es decir: f (x) = 0 h(x − t)h(t)dt. Tenemos pues que determinar previamente la funci´n h, cuya o transformada de Laplace se puede escribir en la forma L[h(x)](p) = p2 1 p + 2 . +1 p +1

Utilizando las transformadas de Laplace calculadasen el primer apartado y la linealidad de la transformada inversa, es evidente que h(x) = sen x + cos x y, por tanto
x

f (x) =
0

(sen(x − t) + cos(x − t)) (sen t + cos t) dt = (1 + x) sen x .

Para obtener la funci´n g escribimos su transformada de Laplace en la forma: o L[g(x)](p) = − p p2 p3 1 + 2 + 2 + 2 . (p2 + 1)2 (p + 1)2 (p + 1)2 (p + 1)2

Entonces, si la funci´n j es tal que...