En probabilidad y estad stica

En probabilidad y estadística, la función generadora de momentos o función generatriz de momentos de una variable aleatoria X es

siempre que esta esperanza exista.
La función generadora de momentosse llama así porque, si existe en un entorno de t = 0, permite generar los momentos de la distribución de probabilidad:

Si la función generadora de momentos está definida en tal intervalo, entoncesdetermina unívocamente a la distribución de probabilidad.[cita requerida]
Un problema clave con las funciones generadoras de momentos es que los momentos y la propia función generadora no siempreexisten, porque las integrales que los definen no son siempre convergentes. Por el contrario, la función característica siempre existe y puede usarse en su lugar.
De forma general, donde es un vectoraleatorio n-dimensional, se usa en lugar de :

Cálculo[editar]
Si X tiene una función de densidad continua, f(x), entonces la función generadora de momentos viene dada por



donde es el i-ésimo momento.es, precisamente, la transformada bilateral de Laplace de f(x).
Independientemente de que la distribución de probabilidad sea continua o no, la función generadora de momentos viene dada por laintegral de Riemann-Stieltjes

donde F es la función de distribución.
Si X1, X2, ..., Xn es una secuencia de variables aleatorias independientes (y no necesariamente idénticamente distribuidas) y

donde lasai son constantes, entonces la función de densidad de Sn es la convolución de la función de densidad de cada una de las Xi y la función generadora de momentos para Sn viene dada por


Para variablesaleatorias multidimensionales X con componentes reales, la función generadora de momentos viene dada por

donde t es un vector y es el producto punto.
Relación con otras funciones[editar]
Hay una seriede transformadas relacionadas con la función generadora de momentos que son comunes en la teoría de probabilidades:
Función característica
La función característica está relacionada con la función...