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Centro de Matem´tica
a
BIOESTADISTICA
Curso 2006

Pruebas de Bondad de Ajuste
En esta secci´n estudiaremos el problema de ajuste a una distribuci´n. Dada una muestra X1 , X2 , · · · , Xn
o
o
de variables i.i.d. con distribuci´n F , un problema b´sico en estad´
o
a
ıstica es encontrar un modelo para
los datos. Por ejemplo, supongamos que nos interesa ver hasta qu´ punto esrazonable suponer que
e
los datos provienen de una cierta distribuci´n F0 .
o
Las pruebas estad´
ısticas destinadas a la resoluci´n de este tipo de problemas son las llamadas Pruebas
o
de Bondad de Ajuste. La mayor´ de ellas se basa en la convergencia de la funci´n de distribuci´n
ıa
o
o
n

emp´
ırica de la muestra: Fn (x) =

1{Xi ≤x} , a la funci´n de distribuci´n subyacente a la muestrao
o
i=1

F . Dicha convergencia est´ garantizada en condiciones muy generales por el Teorema de Glivenkoa
Cantelli, tambi´n llamado Teorema Fundamental de la Estad´
e
ıstica.
En esta secci´n se incluyen algunas pruebas muy generales y conocidas (χ2 , Kolmogorov-Smirnov, y
o
otras pruebas m´s espec´
a
ıficas (Lilliefors, D’Agostino, Filliben).

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La Prueba χ2 de Pearson

Laprimera prueba de bondad de ajuste fue propuesta por Karl Pearson en el a˜o 1900.
n
Pearson propuso evaluar el ajuste de una funci´n de distribuci´n F0 a una muestra de variables i.i.d.,
o
o
mediante el uso de un estad´
ıstico de tipo cuadr´tico. Este planteamiento constituye la primera evalua
aci´n rigurosa de la calidad del ajuste a una distribuci´n. Anteriormente a Pearson s´lo se intentarono
o
o
comparaciones subjetivas.
Baste como ejemplo el de la utilizaci´n de la distribuci´n normal en la teor´ de errores. Dicha diso
o
ıa
tribuci´n fue introducida por Gauss en 1801 para modelar los errores en la determinaci´n de la posici´n
o
o
o
del asteroide Ceres. A˜os despu´s Laplace y Poisson llegaron a ella en versiones primigenias del Teon
e
rema Central del L´
ımite.Poisson agregar´ contraejemplos con l´
ıa
ımites no gaussianos. La primera
justificaci´n de la aplicabilidad del modelo fue dada por un ingeniero alem´n: G. Hagen, en 1837.
o
a
Pero hubo que esperar casi un siglo hasta que alguien (Pearson) propusiera verificar la adecuaci´n del
o
modelo.
En el caso de hip´tesis nula compuesta, en que es necesario estimar par´metros, las distribuciones
o
a2

LA PRUEBA DE KOLMOGOROV Y SMIRNOV

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asint´ticas de los estad´
o
ısticos del tipo χ2 dependen del m´todo de estimaci´n utilizado.
e
o
Fundamentaci´n de la prueba
o
Dada una muestra X1 , X2 , · · · , Xn de variables i.i.d., con funci´n de distribuci´n F , y una distribuci´n
o
o
o
F0 , Pearson considera la partici´n en k clases A1 , A2 , · · · , Ak del soporte de F0 y a partirde ella
o
propone el estad´
ıstico
k
(Xni − npi )2
S=
npi
i=1
n

donde Xni =

1Ai (Xj ) y pi = F (Ai ). La distribuci´n de S depende en general del n´mero de clases
o
u
j=1

k, del vector de probabilidades (p1 , · · · , pk ) y del tama˜o de muestra n. En un art´
n
ıculo de 1973,
Katti da tables exactas para el caso uniforme. De acuerdo al siguiente teorema, que enunciamos sindemostraci´n, S tiene, bajo la hip´tesis nula distribuci´n χ2 con k − 1 grados de libertad, mientras
o
o
o
que bajo la alternativa “F = F0 ”, S tiende casi seguramente a infinito.
Teorema
Sea p1 , p2 , · · · , pk una k-upla de n´meros no negativos que suman 1, y sean Z1 , Z2 , · · · vectores multinou
n

miales e independientes con par´metros {(p1 , p2 , · · · , pk ), 1}. Si definimos Xn =a

Zm , el estad´
ıstico
m=1

k

S=
i=1

(Xni − npi )2
npi

tiene distribuci´n asint´tica χ2 con k − 1 grados de libertad
o
o

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La Prueba de Kolmogorov y Smirnov

Esta prueba de ajuste se basa en el llamado Teorema Fundamental de la Estad´
ıstica, que enunciamos
a continuaci´n
o
Teorema Fundamental de la Estad´
ıstica (Glivenko-Cantelli)
Sea X1 , X2 , · · · , Xn , ·...