Encontrar Volumen De Un Caja De Papel Con Derivadas Parciales
Páginas: 3 (618 palabras)
Publicado: 23 de octubre de 2012
Sabiendo que las medidas de la hoja tamaño carta son:
Ancho = 216 mm
Largo = 279 mm
tenemos que un gráfico de lo que buscamos puede ser:
|<------------------ 216 ---------------->||<- x ->|<---- 216 − 2x ---->|<- x ->|
+--------+---------------------+---------+ --- . . . . . .---
| . . . . .| . . . ... . . . . . . . . .| . . . . .| . x . . . . . . . ^+--------+ . . . . . . . . . . . . +---------| .--- . . . . . . |
| . . . . . . . . . . . . … . . . . . . . . . . | . . . . . . . . . .|
| . . . . . . . . . . . . . .…. . . . . . . . . | . . . . . . . .. .|
| . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . | 297 − 2x . . .|
| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | . . . . . . . . . .|
| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. | . . . . . . . . .297
| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . | . . . . . . . . . .|
| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . | . . . . . . . . . .|
| . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . | . . . . . . . . . .|
+--------+ . . . . . . . . . . . . +---------| --- . . . . . . .|
| . . . . .| . . . . . . . . . . . . .| . . . . .| .x . . . . . . . .v+--------+----------------------+--------+ --- .. . . . . ---
Entonces el volumen de la caja así construída será:
V = largo × ancho × altura
V = (297 - 2x)(216 - 2x)(x)
V = (297 - 2x)(216x - 2x²)
V =64152x - 594x² - 432x² + 4x³
V = 4x³ - 1026x² + 64152x
Debemos maximizar el volumen, para lo cual podemos derivar y así determinamos los valores críticos de "x" (en los cuales la función"volumen" V tenga máximos o mínimos):
V ' = 12x² - 2052x + 64152
Igualamos a 0:
V ' = 0
12x² - 2052x + 64152 = 0
12(x² - 171x + 5346) = 0
(12/12)(x² - 171x + 5346) = 0/12
x² - 171x + 5346 = 0Resolviendo la cuadrática,
x = (9/2)(19 + √97)
y
x = (9/2)(19 - √97)
Ambos valores de "x" son positivos (al realizar los cálculos), por lo tanto, para saber cuál es un máximo y cuál es un mínimo...
Ancho = 216 mm
Largo = 279 mm
tenemos que un gráfico de lo que buscamos puede ser:
|<------------------ 216 ---------------->||<- x ->|<---- 216 − 2x ---->|<- x ->|
+--------+---------------------+---------+ --- . . . . . .---
| . . . . .| . . . ... . . . . . . . . .| . . . . .| . x . . . . . . . ^+--------+ . . . . . . . . . . . . +---------| .--- . . . . . . |
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+--------+ . . . . . . . . . . . . +---------| --- . . . . . . .|
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Entonces el volumen de la caja así construída será:
V = largo × ancho × altura
V = (297 - 2x)(216 - 2x)(x)
V = (297 - 2x)(216x - 2x²)
V =64152x - 594x² - 432x² + 4x³
V = 4x³ - 1026x² + 64152x
Debemos maximizar el volumen, para lo cual podemos derivar y así determinamos los valores críticos de "x" (en los cuales la función"volumen" V tenga máximos o mínimos):
V ' = 12x² - 2052x + 64152
Igualamos a 0:
V ' = 0
12x² - 2052x + 64152 = 0
12(x² - 171x + 5346) = 0
(12/12)(x² - 171x + 5346) = 0/12
x² - 171x + 5346 = 0Resolviendo la cuadrática,
x = (9/2)(19 + √97)
y
x = (9/2)(19 - √97)
Ambos valores de "x" son positivos (al realizar los cálculos), por lo tanto, para saber cuál es un máximo y cuál es un mínimo...
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