Encuentre la temperatura de estado estable en una placa rectangular con las condiciones en las fronteras dadas.

Ejercicio
En el ejercicio encuentre la temperatura de estado estable en una placa rectangular con las condiciones en las fronteras dadas.
δ2Uδx2 + δ2Uδy2 =0
0 < x < a, 0 < y < bU (0, y) = 0, U (a, y) = 0
δUδy (y=0)
U (x, b) =f(x)
Resolución
U=X * Y
δ2Uδx2= X''Y δ2Uδy2=Y''X
Sustituyendo en la fórmula original:
X''Y+YX''= 0
Despejando literales:
X''Y=-Y''XIgualando a una constante
a) X''X= -Y''Y=C
Para estos casos:
C= -λ2
Ya que para los otros casos posibles de valores
C= λ2 y C=0
Se obtienen soluciones triviales.
Separando a) para obtener2 ecuaciones obtenemos:
X''= CX y Y''= -CY
Igualando a CERO ambas operaciones obtenemos:
b) X''- CX=0
c) Y''+ CY=0
Resolviendo b)
X''- CX=0
Por medio de la ecuacióncaracterística
m2- C=0
m2= -λ2
m1, 2= ± -1λ2
m1, 2 =± ιλ α=0
Por tanto:
Xx= C1cosλx+ C2sinλx
Ahora resolvemos c)
Y''+ CY=0
Por medio de la ecuación característica
m2+ C= 0
m2 = --λ2
m1, 2 =λ2
m1, 2= ±λ
Para fines de practicidad Y(y) queda expresada:
Yy= C3cosh(λy)+ C4sinh(λx)
Con lo anterior se obtiene que:
Ux,y= C1cosλx+ C2sinλxC3coshλy+ C4sinhλx
Como solución general.
Sinembargo para este problema existen varias condiciones de frontera que deben cumplirse.
Por tanto:
U0,y= C1cosλ0+ C2sinλ0C3coshλy+ C4sinhλy=0
Considerando que sin(0)=0 y que cos0=1 tenemos que:
U0, y=C1C3coshλy+ C4sinhλy= 0
Para que esta condición se cumpla:
∴ C1=0
Con lo que queda que:
Ux,y= C2sinλxC3 coshλy+ C4sinhλy
Con la siguiente condición:
Ua,y= C2sinλaC3coshλy+ C4sinhλy=0
Para que loanterior se cumpla tenemos que considerar que:
sinλa=0
sinθ=0
θ=nπ
λa=nπ
λ= nπa
Obteniendo que:
Ux, y= C2sinnπaxC3coshnπay+ C4sinhnπay
Considerando que:
C2* C3 =An y que C2* C4=BnUx,y= sinnπaxAncoshnπay+ Bnsinhnπay
Derivamos nuestra función y después evaluando en otra condición tenemos que:
δUδyx,0= sinnπax-Ansinhnπa0*anπ+ Bncoshnπa0* anπ=0
Considerando que sinh0=0 y que...