Energía Electrostática

7 Energía electrostática
Félix Redondo Quintela y Roberto Carlos Redondo Melchor Universidad de Salamanca

Energía electrostática de una distribución de carga eléctrica
Hasta ahora hemos supuesto distribuciones de carga, pero no hemos considerado la energía necesaria para formarlas. Se llama energía electrostática de una distribución de carga eléctrica al trabajo que hay que realizar paratrasladar esa carga desde regiones de potencial cero al lugar que ocupa en la distribución, supuesto que no hay más campo eléctrico que el que crea la carga de la distribución. Ese trabajo coincide con el que realizarían las fuerzas electrostáticas de la propia distribución, si se permitiera que se dispersara su carga para volver a su situación inicial. En lo que sigue, supondremos que el medio en elque se sitúa la distribución es un dieléctrico lineal y homogéneo respecto a la permitividad ! , que llena todo el espacio, y que su densidad de carga es inicialmente nula en todos sus puntos, por lo que el campo eléctrico también es inicialmente cero en todos los puntos del dieléctrico. Supondremos el origen de potenciales en el infinito1.

Energía electrostática de una distribución de cargaspuntuales
Para traer una carga puntual q1 desde el infinito a un punto cuyo vector de posición es r1 , no hay que realizar trabajo, pues, según las hipótesis de partida expuestas en el apartado anterior, el valor del campo eléctrico es cero en todos los puntos, y la fuerza sobre q1 es, por tanto, cero. Si ahora se trae la carga q 2 desde el infinito hasta el punto r2 , el trabajo que hay querealizar es
W2 = q 2V1 2 = 1 q1 q2 4!" r1 2

donde2
V1 2 = 1 q1 4!" r1 2

es el potencial del punto que va a ocupar la carga q 2 , que solo está creado por la carga q1 . r1 2 = r1 ! r2 es la distancia entre los puntos que ocupan las cargas q1 y q 2 . Si a continuación traemos la carga q 3 al extremo de r3 , el trabajo necesario vale # 1 q1 1 q2 & 1 W3 = q 3 (V1 3 + V2 3) = q3 % + (= $ 4!" r1 34!" r2 3 ' 4!" donde # q1q 3 q2 q 3 & + % ( r2 3 ' $ r1 3

Según lo ya visto, el potencial que una carga puntual q crea en un punto situado a una distancia R 1 q + C , donde C es el potencial del infinito. Por tanto, asignar potencial cero al de ella en el vacío es V = 4!" 0 R infinito es hacer C = 0 Si el medio es un dieléctrico, ! 0 debe sustituirse por la permitividad ! del dieléctrico. Eltrabajo W2 se realiza en contra del campo eléctrico. El trabajo que realiza el campo es q2 (V1 ! V2 ) = q 2 ( 0 ! V2 ) = !q 2 V2 = !W2 .
2

1

F. Redondo Quintela y R. C. Redondo Melchor

V1 3 + V2 3 =

1 q1 1 q2 + 4!" r1 3 4!" r2 3

es el potencial que las cargas q1 y q 2 crean en el extremo de r3 . De la misma forma, si se acerca a continuación la carga q 4 hasta el punto r4 , eltrabajo vale # 1 q1 1 q2 1 q3 & W4 = q4 (V1 4 + V2 4 + V3 4 ) = q 4 % + + ( = $ 4!" r1 4 4!" r2 4 4!" r3 4 ' = donde
V1 4 + V2 4 + V3 4 = 1 q1 1 q2 1 q3 + + 4!" r1 4 4!" r2 4 4!" r3 4

1 # q1 q4 q2 q 4 q 3q 4 & + + % ( 4!" $ r1 4 r2 4 r3 4 '

es el potencial creado por las cargas q1 , q 2 y q 3 en el punto r4 . Y así sucesivamente. El trabajo para traer la carga q n al punto rn es
Wn = qn (V1n +V1n + L + V1n ) = 1 4!" $ q1q n q 2 qn q q ' + + L + n# 1 n ) & r2n rn #1,n ( % r1n

El trabajo total realizado para traer las n cargas es la suma de los anteriores: W= 1 4!" # q1 q2 & q1 q3 q2 q 3 ) & q1 q4 q2 q 4 q 3 q4 ) +( + + + % + +( + +L r2 3 * ' r1 4 r2 4 r3 4 * $ r1 2 ' r1 3

"q q q q q q %( L + $ 1 n + 2 n + L + n! 1 n ' * = r2n rn !1,n & ) * # r1n
= 1 )# q1 q2 q 1q3 q1q 4 qq & + + +L + 1 n( + +% 4!" *$ r1 2 r1 3 r1 4 r1n '

!q q qq q q q q $ +# 2 3 + 2 4 + 2 5 + L + 2 n & + r2 4 r2 5 r2n % " r2 3

! q q $( !q q qq qq qq $ + # 3 4 + 3 5 + 3 6 + L + 3 n & + L + # n' 1 n & * = r3 5 r3 6 r3n % " r3 4 " rn '1,n % * )
= 1 ) # q2 q 3 q 4 q & + + +L + n ( + +q 1 % 4!" * $ r1 2 r1 3 r1 4 r1n '

!q q q q $ + q2 # 3 + 4 + 5 + L + n & + r2n % " r2 3 r2 4 r2 5

! q $( !q q q...