EnergSistemaCargas

Dr. Ing Guillermo Santiago
Física II A/B - Segundo Cuatrimestre 2006

Algunas consideraciones sobre la energía almacenada en una distribución
de cargas
Distribución discreta de cargas
Una distribución cualquiera de cargas eléctricas tiene una cierta cantidad de energía
asociada. Esto es particularmente fácil de ver en el caso de contar con N cargas Qi ubicadas
en las posiciones ri. Consideramosque este sistema es armado trayendo sucesivamente cada
una de las cargas desde una distancia muy grande. Así, para traer la primera no efectuamos
trabajo alguno dado que sobre la misma no actúan fuerzas eléctricas. Luego, para poner la
segunda carga en su posición final debemos hacer un trabajo W12.
W12 =

1

Q1Q2
r
4πε 0 r12

(1)

Si ahora movemos imaginariamente la tercera carga podemos calcularel trabajo realizado
computando los términos entre la carga 1 y la 3 y luego entre la 2 y la 3.
W13 =

1

Q1Q3
r
4πε 0 r13

W23 =

1

Q2 Q3
r
4πε 0 r23

(2)

Podemos continuar así con las demás cargas hasta haber conformado toda la distribución de
cargas. La cantidad total de trabajo realizado (y por lo tanto la energía almacenada) es
simplemente la suma de los términos anteriormente mencionados.W =

∑

Todos
los pares

1

Qi Q j 1
1 Qi Q j
r = ∑∑
r
4πε 0 rij
2 i j 4πε 0 rij

i≠ j

(3)

En la última expresión incluimos el factor ½ para evitar contabilizar dos veces el mismo
término al recorrer las sumatorias todos los valores de i y j.
Distribución continua de cargas
Cuando tenemos una distribución continua de cargas las sumas anteriores deben ser
reemplazadas por integrales. Así, siconsideramos que cada elemento de volumen dv tiene
una cantidad de carga dQ=ρ dv obtenemos:
W =

1
2 Todo∫

ρ (1)ρ (2)
r dv1 dv 2
4πε 0 r12

(4)

el espacio

Donde tenemos ahora dos integrales que recorren toda la distribución de cargas (por eso
mantenemos el factor ½ al comienzo).
Si nos concentramos en la integral sobre dv2 observamos lo siguiente:
1

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ρ (2)

∫ 4πε

r dv 2 = V (1) (5)
r
0 12

Observamos que la misma devuelve el potencial generado en la posición 1 por toda la
distribución 2, por lo que podemos reducir la expresión (5) a:

W =

1
ρ (1)V (1)dv1 (6)
2∫

El uso del subíndice para indicar la región es entonces innecesario puesto que no quedan
variables de la región 2 en la expresión. Entonces reducimos a:

W =1
ρVdv
2∫

(7)

Esta es la relación final que nos permite computar la cantidad de energía almacenada en el
sistema.
Un pequeño ejemplo para introducir la densidad de energía

De los muchos ejemplos que podemos dar para aplicar esta expresión tomamos el caso
simple de un capacitor de placas paralelas de área A, separación d y conectado a una pila de
valor Vp. Si asignamos a la placa negativa elpotencial de referencia nulo, entonces la otra
se encuentra a un potencial Vp y la cantidad de energía almacenada es:
W =

1
1
1
1
ρVdv = V p ∫ ρdv = V p Q = CV p2
∫
2
2
2
2

Donde C es la capacidad.
Introducimos ahora el concepto de densidad de energía u como la cantidad de energía dW
almacenada por unidad de volumen dv, es decir:
u=

dW
dv

(8)

En el sistema MKS la densidad de energía se mide enJ/m3.
En nuestro ejemplo esta cantidad es muy fácil de calcular puesto que todas las magnitudes
son uniformes así que el cómputo se reduce a dividir la cantidad de energía almacenada por
el volumen.
u=

W 1 2 QV p 1 Q V p 1 V p 1 r r
=
=
= σ
= DE
v
Ad
2A d
2 d
2

(9)

2

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En esta última expresión recordamos que la razón de lacarga Q almacenada en una placa al
área A de la misma es la densidad
superficial de carga σ y que ésta coincide con el módulo
v
del vector desplazamiento D . Asimismo recordamos que la razón de la diferencia de
potencial entre placas
Vp a la distancia d entre las mismas coincide con el módulo del
v
campo eléctrico E .
Vemos que, al menos en este caso simple, pudimos reducir
v el vcálculo de la...