Enfermera

Universidad de Los Andes Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas. Grupo de Ecuaciones Diferenciales.

Sistemas expansivos sobre espacios compactos.

Yesenia Maria Uribe Mapayo. Trabajo Especial De Grado para optar al titulo de Licenciada en Matemáticas. Tutor: Dr. Luis Bladismir Ruiz.

Marzo, 2011.

ÍNDICE GENERAL

Introducción 1. Preliminares 1.1. Introducción a los SistemasDinámicos Discretos . . . . . . . . . . . . . 1.2. Transitividad y Conjugación Topológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Conjuntos totalmente disconexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Sistemas Dinámicos Expansivos 2.1. Espacio de n Símbolos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. El Shift bilateral: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2.3. Homeomorfismos Expansivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Teorema de Expansividad Bibliografía

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AGRADECIMIENTOS

A Dios por ser mi guia día a día. A mis padres, Jairo y María, por apoyarme y brindarme palabras de aliento cuando más las he necesitado. A mis hermanos, Henner, Jairo y Andrea por el ánimo brindado. A mitutor, Dr. Bladismir Ruíz, por su tiempo, dedicación y múltiples consejos. A mis amigos, Carlos, Carol, Cándida, Victoria, Sindy, Jesús, Luis, Jance, Richard, Wilmer, Keila, Walter, Mileidy, y todo aquel que de una forma u otra estuvieron a mi lado apoyandome. A todos ustedes GRACIAS.

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RESUMEN

En este trabajo se presenta una relación entre la expansividad y la dinámica simbólica, sobreespacios compactos. Esta relación es realizada a través de conjugaciones, donde uno de las condiciones necesarias para tener dicha conjugación es que, el espacio topológico sea totalmente disconexo. Al quitar la condición de que el espacio sea totalmente disconexo, se tiene que no es posible encontrar una conjugación, sino, una semiconjugación, con la cual se concluye que los sistemas expansivossobre espacios compactos tienen al menos la dinámica del shift.

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INTRODUCCIÓN

Dada cualquier función continua sobre un espacio métrico M , a los sistemas dinámicos le concierne estudiar el comportamiento asintótico de las iteradas de dicha función. Es así, como durante los últimos años se viene estudiando el caso en que estos sistemas poseen órbitas densas, es decir, órbitas querecorren todo nuestro espacio de fase. Luego se torna interesante aquellos sistemas dinámicos en los cuales podemos encontrar abundantes órbitas periódicas y órbitas densas, lo que hace muy interesante el comportamiento de dicha función. Un sistema dinámico que cumple con las características antes mencionadas es la función desplazamiento sobre el espacio de n símbolos, conocida como el shift. Por otrolado, no siempre es posible predecir o saber que sucederá con las órbitas de un sistema dinámico, es aquí cuando surgen los sistemas dinámicos expansivos, como una condición para obtener una predicción del comportamiento de una gran parte de las órbitas, este tipo de sistema lo que nos dice es que, para algún ε > 0, dos órbitas diferentes nunca se acompañan a distancia ε a lo largo de su trayectoriao lo que es equivalente a decir que, si siempre dos órbitas se acompañan a distancia ε a lo largo de su trayectoria, entonces son iguales. En este trabajo nos enfocamos en el estudio de los sistemas dinámicos expansivos sobre espacios compactos, lo interesante que verifican estos sistemas es esa propiedad dinámica de poder distinguir sus puntos tanto en el pasado como en el futuro. Entonces,nuestro objetivo principal es encontrar un criterio que nos permita describir el comportamiento asintótico para la gran mayoría de las órbitas del espacio de fase de un homeomorfismo expansivo, es decir, ya que la función desplazamiento sobre el espacio de símbolos finitos, es expansiva y con una dinámica rica y bien conocida, mostramos que familias de este tipo poseen una relación biunívoca con los...