enfriamiento

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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE
PRIMER ORDEN A
PROBLEMAS DE ENFRIAMIENTO
Se sabe de observaciones experimentales que, con una exactitud satisfactoria, en
muchas circunstancias, la temperatura superficial de un objeto cambia a una velocidad
proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la de sus alrededores. Esto se
conoce como la Ley deEnfriamiento de Newton.
LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON

Si T(t) es la temperatura de un objeto en un instante de tiempo t, Ta es la
temperatura del ambiente constante y β la constante de proporcionalidad entonces la
ecuación diferencial asociada a los problemas de enfriamiento (calentamiento) es:
dT (t)
= β [T(t) – Ta]
dt
Se necesita conocer la lectura de la temperatura del objeto en dosinstantes
diferentes, ya que hay dos constantes por determinar: la constante de proporcionalidad β y la
constante de integración.
Se tendrá entonces un problema de valor de frontera
⎧ dT(t)
⎪ dt = β [T(t) - Ta]
⎪
⎨T(0) = T0
⎪T( t ) = T
1
⎪ 1
⎩
La solución del problema de valor de frontera permite obtener la Ley de Variación de la
temperatura en función del tiempo ( esto es, una ecuaciónpara T(t))

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EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE APLICACIONES DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN, A PROBLEMAS DE
ENFRIAMIENTO
1. La temperatura de una taza de café acabada de servir es de 200º F. Un minuto
después se ha enfriado a 190º F en un cuarto que está a 70º F ¿Qué tan grande debe
ser el período que debe transcurrir antes de que el café alcance una temperatura de150º F?
SOLUCIÓN:

Lo primero que debe hacerse es establecer los datos que se conocen y los que se
deben determinar.
La temperatura del café acabado de servir, representa la temperatura inicial del café,
es decir, para el tiempo to = 0 min, la temperatura es T0 = 200 º F.
De acuerdo con el enunciado del problema, para el tiempo t1 = 1 minuto, la
temperatura es T1 = 190º F.
También sedice en el enunciado, que la temperatura del cuarto, en el cual se está
enfriando el café, es de 70º F. Esto representa la temperatura del ambiente: Ta = 70º F.
Puesto que la ecuación diferencial asociada a los problemas de enfriamiento, de
acuerdo con la Ley de enfriamiento de Newton, es
dT
= β ( T − 70 )
(1)
dt
lo que queda planteado es resolver el problema de valor de frontera
⎧ dT
⎪ dt= β (T − 70 )
⎪
⎨T(0) = 200
⎪T(1) = 190
⎪
⎩

dT
⎛ dT ⎞
Ya que, la diferencial de la temperatura es dT = ⎜
, dado por la
⎟ dt, al sustituir
dt
⎝ dt ⎠
ecuación (1)
dT = β ( T – 70) dt
(2)
La ecuación (2) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las
1
variables, se multiplica la ecuación (1) por el factor
T − 70
⎛ 1 ⎞
⎜
⎟ dT = β dt
⎝ T − 70 ⎠integrando

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∫

∫

⎛ 1 ⎞
⎜
⎟ dT =
⎝ T − 70 ⎠

β dt

(3)

Ambas integrales son inmediatas

∫

⎛ 1 ⎞
⎜
⎟ dT = ln l T – 70 l + C1
⎝ T − 70 ⎠

∫

β dt = β t + C2

sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (3)
ln l T – 70 l = β t + C

(4)

Los valores de la constante de proporcionalidad β y de la constante de integración C,
deben determinarse. Paraello, se utilizan las condiciones de frontera.
El valor de la constante C de integración se obtiene utilizando la condición T(0) = 200,
es decir, se sustituye en la ecuación (2) t = 0 y T = 200, obteniéndose C = ln 130. Este
valor de C se sustituye en la ecuación (4)
ln l T – 70 l = β t + ln 130
(5)
El valor de la constante β de proporcionalidad se obtiene utilizando la condición
T(1) = 190,es decir, se sustituye en la ecuación (5) t = 1 y T = 190, obteniéndose
ln 120 = β + ln 130 ⇒ β = ln 120 – ln 130
⎛ 12 ⎞
por propiedades de logaritmo, β = ln ⎜ ⎟ .
⎝ 13 ⎠
Este valor de β se sustituye en la ecuación (5)
⎛ 12 ⎞
ln l T – 70 l = t ln ⎜ ⎟ + ln 130
⎝ 13 ⎠
aplicando propiedades de logaritmo
t
⎡
⎛ 12 ⎞ ⎤
ln l T – 70 l = ln ⎢130 ⎜ ⎟ ⎥
⎢
⎝ 13 ⎠ ⎥
⎣
⎦
aplicando e
⎛ 12 ⎞...