Enfriamiento

CONDICIONES OPTIMAS EN LA PRACTICA DE LA LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON
Luis Fernando Plaza Gálvez * 20 de junio de 2009
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Abstract In the present work a good solution is given to find the best contour condition that allows to evaluate the constant of proportionality in the lineal differential equation that models the Law of cooling of Newton. Resumen En el presente trabajo se da una soluciónóptima para encontrar la mejor condición de contorno que permite evaluar la constante de proporcionalidad presente en la ecuación diferencial lineal que modela la Ley de enfriamiento de Newton.

PALABRAS CLAVES: ecuación diferencial, enfriamiento, optima, Newton. KEY WORDS: cooling, differential equation, Newton, optimum

1.

INTRODUCCIÓN

Cuando se enseña el curso de ecuacionesdiferenciales en los programas de Ingeniería, en el tema de aplicaciones nos encontramos con un ejemplo
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Docente Tiempo Completo en la Unidad Central del Valle del Cauca (UCEVA) e-mail : lplaza@uceva.edu.co; lufepla@gmail.com; lufepla@gmail.com

clásico el cual es la Ley de enfriamiento de Newton. Y es necesario para su solución contar con una condición inicial y una condición de contorno, el cualpermite evaluar las constantes de integración y de proporcionalidad que se originan, pero en cuanto a la condición de contorno nunca se nos dice cual es la mejor que permite el mejor modelamiento. A través de este documento se pretende llegar a dicha solución.

2.

Ley de enfriamiento de Newton

En la literatura clásica, de autores como Ayres [1], Edwards y Penney [2], Zill [4], entre otrosaparece claramente la aplicación de ecuaciones diferenciales lineales entre las que se cita esta ley. En un cuerpo que se esta enfriando, la rapidez con que la temperatura T(t) cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante Tm del medio que lo rodea. Por lo tanto dT = K(T − Tm ), dt

(1)

donde K es una constante de proporcionalidad. Este esel caso de una ecuación diferencial lineal de primer orden con coeficientes constantes y a su vez se puede resolver por variables separables, donde se requiere para su solución una condición inicial, cuando el cuerpo entra en contacto con el medio que lo rodea, esto es

T (0) = T0

(2)

El cual para su solución se procede de la siguiente manera dT = Kdt, T − Tm ln |T − Tm | = Kt + C1 , T − Tm= C2 eKt ,

T = C2 eKt + Tm ,

Ahora si se sabe que cuando t = 0, entonces T = T0 , por lo tanto, se tiene que: C2 eKt = T0 − Tm . Entonces la solución de (1), seria entonces: T = (T0 − Tm )eKt + Tm . (3)

Pero aún para su solución definitiva se requiere conocer el valor de la constante de proporcionalidad K, y para eso se requiere de una condición de contorno, ósea que para un tiempo tc. serequiere conocer una temperatura Tc, el cual quedaría de la siguiente manera: 1 Tc − Tm ln . tc T0 − Tm

K=

(4)

Y en la que se requiere que para el caso del enfriamiento se deba de cumplir que Tm < Tc < T0 . Entonces al analizar lo expresado en (4), nos damos cuenta de que la constante de proporcionalidad va a ser K < 0. Después de analizar desde el punto de vista académico, elcomportamiento de la variable tiempo t, su dominio es [0, +∞) . La pregunta que nos debemos hacer, es cual debe de ser la condición de contorno ideal que permita una mejor modelación matemática de la aplicación de la ley de enfriamiento de Newton, a un cuerpo?. Para su solución se realizó la siguiente práctica con estudiantes del curso Matemáticas IV (Ecuaciones Diferenciales), matriculados en el programade Ingeniería de Sistemas durante el semestre lectivo 2008-2 en la Unidad Central del Valle del Cauca - UCEVA.

3.

DISCUSION DE RESULTADOS

La práctica en mención consistió en depositar agua en un beaker con una cantidad de 50 ml de agua, (tal como aparece en la gráfica) y luego esta se puso a hervir. Teniendo en cuenta que esta practica se llevo a cabo en los laboratorios de Física de...