Ensay

UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN


2.9 Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena.
RECUERDE: La compuesta de f y g se define como
(f o g)(x) = f[g(x)]
en donde f es la función externa y g es la función interna
Ejemplo: f(x) = x2 + 1, g(x) = x2. Halle (gof)(x)
(gof)(x) = g[f(x)]
= g[x2 + 1)]
= (x2 + 1)2
Por lo tanto, (x2 + 1)2 es la compuestade g(x) = x2 y f(x) = x2 + 1, en donde la potencia es la función externa y la suma x2 + 1 es la función interna

* Sean f y g dos funciones derivables y fog es la compuesta de f y g, entonces:
*
* fog’x= f ’gx*g’(x)

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*
* Es decir la derivada de la función compuesta es la derivada de la función externa por la derivada de la función interna.
*
** dydu=dydududx

En la notación de Leibniz, si tanto y = f(u) como u = g(x) son dos funciones derivables entonces:
*
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* Ejemplo 1: f(x) = (x2 + 1)3
* Solución 1:
* Se deriva la potencia, que es la función externa: 3(x2 + 1)2
* Se deriva x2 + 1, que es la función interna: 2x
* Se multiplican las dos derivadas: 3(x2 +1)2*(2x)
* Es decir: f ’(x) = 3(x2 + 1)2*(2x) = 6x(x2 + 1)2

Solución 2: hacemos u = x2 + 1, y = u3
Entonces:
f'x= dydududx=3u2*2x=3*x2+12*2x=6x*x2+12

* EJERCICIOS
* Derivar las siguientes funciones:
*
* 1. f(x) = (x2 + 5)3 2. f(x) = (x + 3).(x – 1)2
* 3. f(x) = (x2 + 2x -5)4 4. f(x) = 2x2+3x-12x-32
* 5. fx= 3x-232x-1 6. ft= t-227+19* 7. fx= 2x-4x+63x-1 8. f(x) = (x2-2x+3)2(x-2)
* 9. fx= x+52(x-1)x2- 3 10. f(x) = (2x + 1)5(x3 – x + 1)4
* 11. y = e-mx 12. y=xe-x2
2.10 Aplicaciones de la regla de la cadena. Coeficientes de variación ligados o tasas relacionadas.

En todo problema de coeficientes de variación ligados, se calcula la rapidez de cambio de una cantidad en términos de la tasa decambio de otra cantidad que se puede medir con más facilidad. Por ejemplo, al inflar un globo aumenta su volumen y su radio, y las razones de cambio correspondientes están relacionadas. Pero es mucho más fácil medir la tasa de crecimiento del volumen que la del radio.

El procedimiento para resolver este tipo de problemas es deducir una ecuación que relacione las dos cantidades y después derivaraambos lados aplicando la regla de la cadena
Ejemplo 1: Supóngase que se introduce un gas en un globo esférico a la razón constante de 50 cm3 por segundo. Supóngase que la presión del gas permanece constante y que e l globo tiene siempre forma esférica. ¿Cuál es la rapidez con que aumenta el radio del globo cuando su longitud es de 5 cm?
Solución:
Primero identificamos la información conocida:
Larapidez con que aumenta el volumen del aire es de 50 cm3/seg
Es decir dvdt=50cm3seg: donde v es el volumen del globo y t el tiempo

Luego identificamos la información desconocida:
Rapidez con que aumenta el radio del globo cuando su longitud del radio es de 5 cm, es decir, drdt=?, si r=5 cm.
Luego buscamos la ecuación que relaciona el volumen con el radio, recuerde que:
v= 43 r3
Ahoraderivamos ambos lados aplicando la regla de la cadena, v esta en función del radio y r en función del tiempo:
dvdt=dvdrdrdt (1)
Como
dvdr=433πr2= 4πr2 2 y

dvdt=50cm3seg (3)

Reemplazamos (2) y (3) en (1):
50cm3seg=4πr2drdt (4)
De la ecuación (4) despejamos dr/dt:
drdt=50cm3seg4πr2
Como r = 5cm, entonces, r2 = 25 cm2 lo reemplazamos en la ecuación anterior:drdt=50cm3seg4π(25cm2)=12πcmseg
Entonces el radio aumenta a razón de 12πcmseg en el instante en que r = 5

EJERCICIOS
1. Se inyecta gas a un globo esférico a razón de 5 pie3/min. ¿Si la presión se mantiene constante, cuál es la rapidez de cambio del radio cuando el diámetro mide 18 pulgada?
2. La ley de Boyle para la expansión de un gas es PV = K. donde P unidades de fuerza por unidad cuadrada de área es...