Ensayo Acerca de las teorías de las ecuaciones

Ensayo acerca de las Teorías de las ecuaciones

Introducción. En el siguiente ensayo se plasmaron las ideas e investigaciones realizadas y obtenidas sobre las teorías de las ecuaciones, de la misma forma llegamos a nuestras conclusiones acerca de la efectividad del mismo método.
Objetivo. Investigar y probar o demostrar la efectividad así mismo plasmar nuestra opinión sobre el método.Resultados de investigaciones.
La teoría de ecuaciones es un conjunto de trabajos cuyo objetivo principal es la resolución de ecuaciones algebraicas o equivalentes. Tal ecuación se escribe del modo siguiente:

a_nX^n + X^{n-1} +……… + a = 0
Donde X designa la incógnita.
A partir de la edad moderna, el polinomio es considerado también una función. Este tratamiento ofrece métodos para determinar elnúmero de raíces reales, para localizarlas, y también permite construir métodos de aproximación tan precisos como se desee. Uno de sus logros es el llamado teorema fundamental del álgebra, según el cual una función polinómica no-constante admite al menos un cero en los números complejos.

El tema, pues solamente se refiere a ciertas ecuaciones y a ciertas soluciones, no a todas.
Para ello esnecesario tener como antecedentes algunos teoremas y la división sintética así como ciertas definiciones.
DEFINICIÓN DE POLINOMIO Y DE ECUACIÓN

Una variable es una cantidad que se simboliza por una literal y que puede tomar diferentes valores.
Una constante es una magnitud que presenta siempre un mismo valor.
Un monomio es una expresión del tipo: n
ax , donde a es un número real, x esla variable y n un número natural.
Existen monomios de más de una variable. Por ejemplo: n p q. ax y z donde a es un coeficiente real, x, y,z son las variables y n, p,q son los exponentes naturales.
Un binomio es la expresión que se forma al sumar algebraicamente dos monomios. Por ejemplo: 4x + 2 y
Un trinomio es la expresión que se forma al sumar algebraicamente tres monomios. Porejemplo:
5x y + 3z w − 6ab
Un polinomio es la suma algebraica de dos o más monomios.

1) TEOREMA DEL RESIDUO
Si se tiene un polinomio P(x) y se divide entre x−a el residuo de la división es P(a).
Demostración:
Si se divide P(x) entre x−a se tiene:
P(x) =Q(x) (x −a)+ R
Donde Q(x) es el cociente y R es el residuo.
Si ahora se evalúa x = a se obtiene:
P(a) =Q(a) (a −a)+ R = 0+ R = RDe donde P(a) es el residuo.
Ejemplo.
Sea el polinomio:
Comprobar el teorema de residuo si se divide entre x −1.
Solución.
Dividiendo el polinomio entre x-1:


Ahora, evaluando x =1:
Los resultados son iguales, lo que comprueba el teorema del residuo.

2) TEOREMA DEL FACTOR Y SU RECIPROCO: Se trata de un teorema cuya demostración o veracidad es muy directa y obvia. De hecho,su fundamentación es el equivalente al inverso de la solución de una ecuación por el método de factorización.

3) Teorema fundamental del álgebra
El teorema fundamental del álgebra enunciado por Federico Gauss en 1799 establece que:
“Toda ecuación en x de grado n tiene n raíces complejas”
Esto significa que todo polinomio en x con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos unfactor de la forma x−a , donde a es un número complejo.



DIVISION SINTETICA: Es un proceso mediante el cual se puede reducir considerablemente el trabajo realizado para encontrar el cociente y el residuo que resultan al dividir un polinomio.
P(x) entre (x - r). Se deja como ejercicio de clase deducir los pasos de reducción del proceso hasta llegar a la regla misma de la división sintética.RAICES RACIONALES DE UNA ECUACION RACIONAL ENTERA
El estudio de las ecuaciones al que se refiere este tema, como se dijo al inicio, está bastante restringido, ya que solamente se refiere a ciertas ecuaciones y a ciertas soluciones, no a todas. Una de las limitantes es que las soluciones que se pueden encontrar por el método que un poco más adelante se va a detallar solamente son racionales. El...