ensayo calculo

PRIMEROS METODOS PARA ENCONTRAR TENGENTES

El problema de determinar la recta tangente a una curva en un punto de ésta interesó profundamente a los matemáticos griegos de la Antigüedad, quienes concibieron inicialmente la tangente como una recta que toca a la curva sin cortarla, inspirándose para ello en sus observaciones sobre el círculo. Los miembros más eminentes de la primera escuela deAlejandría – Euclides, Apolonio y Arquímedes – se ocuparon del problema. A finales del siglo IV a.C., Euclides presentó en los Elementos de Geometría los resultados relativos a la tangente al círculo, entre los cuales destacamos los siguientes: “Definición III-2: Se dice que una recta es tangente al círculo cuando lo toca y prolongada no lo corta”. “Proposición III-16: La recta perpendicular en elextremo de un diámetro cae fuera del círculo; entre esta recta y la periferia no se interpondrá ninguna otra y el ángulo del semicírculo es mayor que cualquier ángulo rectilíneo agudo y lo restante menor”. En el siglo III a.C., Apolonio definió la tangente a una sección cónica como la recta trazada por el extremo de un diámetro paralelamente a las ordenadas a éste. Apolonio logró así extender a lascónicas la concepción de tangente que Euclides había establecido para el círculo. El texto pertinente de Apolonio, tomado de Las Cónicas, dice así: “Proposición I-17: La paralela por el vértice de una sección cónica a una recta trazada ordenadamente cae fuera de la sección”.
Al finalizar la prueba de este teorema, Apolonio escribió: “ ˙ .. luego la paralela por A a una recta trazada ordenadamente nocaerá dentro, sino fuera de la sección y será tangente a ésta”, donde A es el vértice de la sección. Apolonio complementó su estudio de la tangente a una sección en el vértice de ésta con algunos resultados notables, entre los cuales destacamos el siguiente, por su semejanza con los que Euclides había establecido para el círculo en la Proposición III-16: “Proposición I-32: La paralela desde elvértice de una sección cónica a una recta trazada ordenadamente es tangente a la sección y ninguna otra recta caerá entre la tangente y la sección”.
Había dificultades para aplicar los métodos euclidianos a otra clase de figuras geométricas planas conocidas también por los griegos, como, por ejemplo, la espiral de Arquímedes. Este matemático del siglo III a.C. pudo encontrar la tangente a la curva,siguiendo posiblemente consideraciones de tipo cinemático, que le permitieron determinar la dirección instantánea del movimiento del punto mediante el cual se genera la curva.
Con el desarrollo de la geometría analítica, por Fermat y Descartes, se clarificó la relación entre las curvas y las ecuaciones. Toda ecuación de dos variables determina una curva en el plano; este hecho dio origen a laaparición de una gran variedad de curvas donde el concepto de tangente de los griegos resultaba inadecuado para su aplicación. La función y = x3 nos puede dar un ejemplo de tal situación; ¿cómo se determina una tangente en el punto A, el concepto griego: La tangente como una recta que toca, pero no corta, a la curva?. La curva y = x3 era conocida por Fermat en los siguientes términos “ [...]una figuracomo la parábola, de tal tipo que los cubos están en proporción con los segmentos que ellas cortan en el diámetro. Esta figura es algo como una parábola y difiere de ésta solo en el hecho de que en una parábola tomamos la razón de los cuadrados mientras que en esta figura yo tomo la de los cubos.” Fermat y Descartes crean un potente método geométrico-algebraico en el que pudieron plantear yresolver problemas como la construcción de tangentes a curvas donde el concepto griego resultaba limitado e inadecuado. El problema de obtener tangentes era de gran importancia para las aplicaciones científicas, por ejemplo, para la óptica. En el diseño de lentes era fundamental estudiar el paso de la luz a través del lente, pues si se conoce el ángulo bajo el cual el rayo toca la lente, se podría...