Ensayo De Empowermant

Universidad Carlos III

Micro II

Teoría del Consumidor: Dualidad
La resolución del problema del consumidor
max u(x, y )
x,y

px x + py y ≤ I,
x ≥ 0, y ≥ 0,
proporciona las funciones dedemanda ordinarias (marshallianas),
x(px , py , I )
y (px , py , I )
y la función indirecta de utilidad
v (px , py , I ) = u(x(px , py , I ), y (px , py , I )).
Bajo las hipótesis habituales sobrelas preferencias del consumidor, estas funciones
son continuas, homogéneas de grado cero en (px , py , I ), etc..
El dual al problema del consumidor consiste en minimizar el gasto necesario paraalcanzar un cierto nivel de bienestar:
min px x + py y
x,y

u(x, y ) ≥ u,
x ≥ 0, y ≥ 0.
La solución a este problema proporciona las funciones de demanda compensadas
(hicksianas),
hx(px , py , u)hy (px , py , u)
y la función de gasto
e(px , py , u) = px hx (px , py , u) + py hy (px, py , u)).
De nuevo, bajo las hipótesis habituales sobre las preferencias del consumidor, estos
funcionesson continuas, homogéneas de grado cero en (px , py ), etc..
Las relaciones entre las soluciones a estos problemas está claramente descrita por
las identidades
x(px , py , I ) ≡ hx (px , py , v (px, py , I )); hx (px , py , u) ≡ x(px , py , e(px , py , u))
y (px , py , I ) ≡ hy (px , py , v (px , py , I )); hy (px , py , u) ≡ y (px , py , e(px , py , u))
1

y
v(px , py , e(px , py , u))≡ u; e(px , py , v (px , py , I ) ≡ I.

Derivando la identidad hx (px, py , u) ≡ x(px , py , e(px , py , u)) con respecto a px , se
obtiene la Ecuación de Slutsky,
∂x
∂hx
∂x
=
−x .
∂px
∂px
∂I(Para obtener esta ecuación es preciso utilizar el resultado
∂e
= hx (px , py , u),
∂px
conocido como Lema de Shephard.)
La Ecuación de Slutsky proporciona una fórmula para el cálculo de losefectos
x
sustitución ( ∂hx ) y renta (−x ∂x ) de una variación infinitesimal del precio de un bien
∂p
∂I
sobre su demanda.
Cuando la renta monetaria del consumidor no es exógena, como ocurre...