Ensayo de funciones parametricas

Instituto Tecnológico de San Luis Potosí, Capital
Ingeniería en mecatrónica
Calculo Vectorial
Actividad 1.- Ensayo de funciones paramétricas
Ing. Juan Carlos Mendoza Trejo
Erick Javier García Vaca
03/07/15

Introducción
En este trabajo aprenderemos que una función paramétrica es una función dada por
x y y.
Que en la vida real para lo que más se usan las funciones paramétricas es para
determinarla trayectoria, velocidad y tiempo de un móvil, o para calcular su tiro
parabólico o semiparabólico.
También veremos las formas para graficar y obtener a las ecuaciones paramétrica,
el tiempo como parámetro y formas para eliminar el parámetro y obtener su forma
rectangular.

Función en forma paramétrica
Una función en forma paramétrica, es cuando se nos dan dos funciones de la
siguiente manera:x=f(t)

y=g(t)

Donde los valores que se nos den en x se pondrán en el eje de las x y los valores
que nos den en y se pondrán en el eje de las y. Y t es el parámetro.
La función paramétrica permite representar una o varias curvas en un plano
mediante el parámetro.

Aplicaciones que tienen las funciones paramétricas
En la cinemática, se usa cuando se toma un parámetro de tiempo (t) para determinarla posición y velocidad del móvil.
Para conocer la trayectoria o la velocidad que tienen un proyectil, misil, bala o
pelota, golpeada o lanza desde un punto inicial hacia un punto final, de forma vertical
u horizontal.
También es útil para calcular el tiro parabólico y el semiparabólico o tiro horizontal.

Técnicas más apropiadas para su graficación e interpretación
Trazado de una curva
Para trazaruna curva la mejor técnica es la siguiente:
Ejemplo: Trazar la curva dada por las siguientes ecuaciones paramétricas:
x=t2-4

y=t/2

Este ejemplo se puede resolver de la siguiente forma:

-2≤t≤3

Primero hacemos una tabla donde pondremos el parámetro, x y y. En la tabla
pondremos en t los valores desde -2 a 3, y en x evaluaremos el valor de t en cada
función.
t

-2

-1

0

1

2

3

x

0

-3

-4-3

0

5

y

-1

-1/2

0

1/2

1

3/2

Después de eso graficamos usando los número en x y y como coordenadas.
Otra forma de resolverla es la siguiente:
x=t2-4

y=t/2

De las dos funciones que se nos dan se escoge la que sea más fácil de despejar y
el despeje de la primera función se cambia en la segunda función.
y=t/2

x=t2-4

2y=t

x=(2y)2-4
x=4y2-4

No importa cuál de los dos métodos se usepara resolverlo, al graficar, la gráfica
queda igual:

Identidades para eliminar el parámetro
Las identidades para eliminar el parámetro son las siguientes:
Sen2θ+ Cos2θ=1

Sec2θ+ Tan2θ=1

1. Para una circunferencia se usa lo siguiente:
Dibujar la curva definida por las ecuaciones paramétricas:
x=2cost

y=2sent

Si el número que está antes de la identidad es igual sumamos las dos
ecuaciones y laslevamos al cuadrado, después se le saca raíz y obtenemos
el radio de la circunferencia.
x+y=(2cost)+( 2sent)
x2+y2=(2cost) 2+( 2sent) 2
x2+y2=4cos2t+4sen2t
x2+y2=4(cos2t+sen2t)
x2+y2=4(1)
x2+y2=4
x+y=2
a) 0≤t≤2π
Para graficar el inciso a) tomamos a π como 180° y lo multiplicamos por dos,
que nos dará como resultado 360°.

2. Para una elipse se hace lo siguiente:
Dibujar la curva definida por lasecuaciones paramétricas:
x=2cost

y=3sent

Si el número que está antes de la identidad es distinto se hace lo siguiente:
dividimos x y y entre el número, después se suman x y y, y se elevan al
cuadrado y se saca raíz para obtener el número que hay en x y y de la elipse.
x=2cost
x/2=cost
y=2sent
y/3=sent
x/2+y/3=cost+sent
(x/2)2+(y/3)2=(cost+sent)2
x2/4+y2/9=cos2t+sen2t
x2/4+y2/9=1
x/2+y/3=1
Despuéssolo se gráfica y se obtiene una elipse.

El tiempo como parámetro
El tiempo como parámetro se usa principalmente para determinar la trayectoria de
un proyectil, y para esto se usan las siguientes ecuaciones:
x=(V0cosθ)t

y=h+( V0senθ)t-16t2

Ejemplo: Hallar la trayectoria de un proyectil lanzado de horizontalmente con una
velocidad inicial de 20ft/s desde una altura de 64ft. Expresar en forma...