Ensayo de vectores

Universidad de Colima
Facultad de Ingeniería Electromecánica
Campus el Naranjo


Apuntes de temas y ejercicios

Control Moderno


Dr Jorge Gudiño Lau


Presenta:

Lorenzo Martínez Carlos ArmandoManzanillo, Colima 6-Enero-2015

Representación de espacios de estado



Despejamos el de mayor orden
Objetivo:
Obtener una ecuación de primer orden tal cual esta:




Representación de espacios de estado de n-esimo orden representados medianteecuaciones diferenciales lineales en las ecuaciones n contiene derivado de la función de excitación:
n=3



Despejar la que tiene mayor orden







Ecuación Matricial




Masa =

Métodos de obtención del modelo de estado
Hay varias técnicas para obtener representaciones en el espacio de estados de los sistemas basados en la función de transferencia
Valores característicos deuna matriz A de n x n
Los valores característicos de una matriz A de n x n son las raíces de la ecuación característica:

y con las raíces características verifica la estabilidad del sistema.
Encuentre las raíces características de la matriz A y verificar su estabilidad.










Representación en el espacio de estados en formas canónicas






Forma canónica observableForma canónica diagonal












Forma canónica Jordan















Dado la siguiente ecuación diferencial:
Obtener la representación en…
a) Forma Canoníca Controlable (FCC)
b) Forma Canoníca Observable (FCO)
c) Forma Canoníca Diagonal o Jordán (FCD o FCJ)
d) Forma Canoníca Analítica



a)F.C.C


b)F.C.O



c)F.C.D. o F.C.JDivisión Sintética


































d) Forma Analítica








Transformada de Laplace


División Sintética
















Interpolación de Sylvester
Caso 1: El polinomio mínimo de A sólo contiene raíces distintas.
Se supone que el grado del polinomio mínimo de A es m.
Empleado la fórmula deinterpolación de Sylvester. Se muestra que se obtiene resolviendo la ecuación determinante siguiente:

Despejar de la ecuación anterior es lo mismo que:




e AT = αo (t) I+α1(t)A+α2(t)A2+…………m-1)
y determinar α k(t) (k=0,1,2….. m-1) Resolviendo el siguiente conjunto de m ecuaciones para α k(t)

a1= 3 b0=0
a2= 2 b1=0
a3= 0 b2=1
b3=1



β = bo = 0
β1 = b1-a1bo= 0
β2= b2-a1 β1-a2 β0
β3=b3-a1 β2-a2 β1-a3 β0

F.C.C.




β 3-a3b0= 1-0= 1
β2-a2b0= 1-20=1
β1-a1b1=0-3


F.C.O.




Y(S) (S3+3S2+2S) = (S+1)U(s)
G(s) = Y(s)/u(S) = s+1 / s(s+1)(s+2)



Matriz de transición




Empleando el método de Laplace e AT
Obtener (SI –A) -1 = 1/S2+2S+1

S+2/S2+2S+1 = S+1 /(S+1)(S+1) = A/(s+1)2 + B/s+1

S+2 = A +B(s+1)
1=B 2=A+B A=1
1/(s+1)2+ B /(s+1)1=A+B(s+1)
B= 0 1=A+B A=1
-1/(s+1)2 = A/(s+1)2 + B/s+1 -1 =A+B B=0 -1 = A+B A= -1

S/(s+1)2 = A/ (s+1) B=1 0 = A+B A= -1
= 1/ (S+1) + B/(s+1) + 1/(s+1) 1/(S+1)2
-1/(S+1)2 -1/(S+1)2 + 1/S+1G


Calculo de la matriz de transición
En el área de ingeniería de control es necesariocalcular para resolver problemas de control







Método de Coyley-Hamilton
Si la matriz A se transforma en una forma diagonal entonces se obtiene:
Pe dt p-1 = p







Obtener los resultados de λ

Λi – A = 0 = λ2 +3 λ +2= 0
(λ+2)( λ+1) = 0
Λ1 = -1 λ2 = -2
Empleando el método de Sylvester
Sustituimos λ en la matriz de Sylvester
-2 - I +2I -A+=0
-(I+A)...