ensayo del cáncer

Valores del seno y del coseno en los ¶
angulos fundamentales:
grados
0
30
45
60
90

radianes
0
¼
6
¼
4
¼
3
¼
2

seno
0
1
2
p
2
p2
3
2
1

coseno
1p
3
p2
2
2
1
2
0

Sen > 0

Sen > 0

Cos < 0

Cos > 0

Sen < 0

Sen < 0

Cos < 0

Cos > 0

Las relaciones fundamentales son:
1. sen(¡') = ¡ sen ', cos(¡') = cos '
2. sen2 ' + cos2 ' = 1
3. sen('+ #) = sen ' cos # + cos ' sen #, sen(' ¡ #) = sen ' cos # ¡ cos ' sen #
4. cos(' + #) = cos ' cos # ¡ sen ' sen #, cos(' ¡ #) = cos ' cos # + sen ' sen #
Es u
¶ til recordar que si 0 < ® <

¼
2

² sen ® = sen(¼ ¡ ®) = ¡ sen(¼ + ®) = ¡ sen(2¼ ¡ ®)
² cos ® = ¡ cos(¼ ¡ ®) = ¡ cos(¼ + ®) = cos(2¼ ¡ ®)
³¼
´
² sen
¡ ® = cos ®
2
³¼
´
² cos
¡ ® = sen ®
2
y en todo caso que
²arcsen(sen ®) = arccos(cos ®) = arctg(tg ®) = ®
² sen(arcsen x) = cos(arccos x) = tg(arctg x) = x

π −α
2

α

Demostrar:
1. 1 + tg2 ' =

1
cos2 '

2. sen(2') = 2 sen ' cos '
3. cos(2') = cos2 ' ¡ sen2 '
4. tg(' + #) =

tg ' + tg #
1 ¡ tg ' tg #

5. tg(' ¡ #) =

tg ' ¡ tg #
1 + tg ' tg #

6. sen2 ' =

1
(1 ¡ cos(2'))
2

7. cos2 ' =

1
(1 + cos(2'))
2

8. tg

1 ¡ cos'
sen '
'
=
=
2
sen '
1 + cos '

9. sen ' sen # =

1
[cos(' ¡ #) ¡ cos(' + #)]
2

10. cos ' cos # =

1
[cos(' ¡ #) + cos(' + #)]
2

11. sen ' cos # =

1
[sen(' + #) + sen(' ¡ #)]
2

1
[sen(' + #) ¡ sen(' ¡ #)]
2
sen x
x
=
13. Comprobar que arctg
1 + cos x
2

12. cos ' sen # =

14. Comprobar que

sen4 x ¡ sen2 x
cos2 x ¡ sen2 x
=
=1
cos4 x ¡ cos2 xcos4 x ¡ sen4 x

Ejemplos:
² tg(' + #) =
tg(' + #) =

² tg

tg ' + tg #
1 ¡ tg ' tg #
sen(' + #)
sen ' cos # + cos ' sen #
=
=
cos(' + #)
cos ' cos # ¡ sen ' sen #

'
1 ¡ cos '
=
2
sen '

sen ' cos #
cos ' cos #
cos ' cos #
cos ' cos #

+
¡

cos ' sen #
cos ' cos #
sen ' sen #
cos ' cos #

=

tg ' + tg #
1 ¡ tg ' tg #

³ '´
'
'
'
'
Usaremos lasidentidades: sen ' = sen 2
= 2 sen cos y cos ' = cos2 ¡ sen2
2
2
2
2
2
¡ 2'
¢
¡
¢
2 '
2 '
2 '
2 '
1 ¡ cos 2 ¡ sen 2
1 ¡ cos 2 + sen 2
2 sen 2
1 ¡ cos '
'
=
=
=
= tg
sen '
2 sen '2 cos '2
2 sen '2 cos '2
2 sen '2 cos '2
2

Resolver en el dominio que se indica:
³¼ ´
1. 2 tg x ¡ 3 ctg x ¡ 1 = 0 en
;¼ .
2
¸
·
¼ 3¼
2
;
.
2. 3 sen x ¡ 5 sen x + 2 = 0 en
4 4
3. cos2 x ¡3 sen2 x = 0 en [0; 2¼]
4. cos(2x) = 1 + 4 sen x en [0; 2¼]
5. tg(2x) = ¡ tg x en [0; 2¼]
6. 4 sen

x
+ 2 cos x = 3 en [0; 2¼]
2

7. Resolver 3 sen2 x = 2(2 + cos x); 0 < x < 2¼
8. Resolver sen(2x) = cos x; ¡

¼
¼
·x·
2
2

Soluciones:
1
y multiplicamos por tg x. As¶³ tenemos la ecuaci¶on
tg x
p
1 § 1 + 24
1§5
6
3
=
) tg x =
= , que se elimina
2 tg2 x ¡ tg x ¡ 3 = 0 )tg x =
4
4
4
2
por pertenecer el ¶angulo al primer o tercer cuadrante (la tangente es positiva) y tg x = ¡1, que
3¼ ³
¼´
=¼¡
y es la soluci¶on buscada.
corresponde a x =
4
4
p
5 § 25 ¡ 24
5§1
4
2
2
=
) sen x = = , que se elimina
2. 3 sen x ¡ 5 sen x + 2 = 0 ) sen x =
6
6
6
3
¼
por no pertenecer al dominio y sen x = 1, que suministra la soluci¶on x =
2
p
3
2
2
2
22
.
3. cos x ¡ 3 sen x = 0 ) cos x ¡ 3(1 ¡ cos x) = 0 ) 4 cos x ¡ 3 = 0 ) cos x = §
2
p
3
¼
¼
11¼
cos x =
) x = ¶o x = 2¼ ¡ =
2
6
6
6
p
3
¼
5¼
¼
7¼
cos x = ¡
) x=¼¡ =
o¶ x = ¼ + =
2
6
6
6
6

1. Tenemos en cuenta que ctg x =

4. cos(2x) = 1 + 4 sen x ) cos2 x ¡ sen2 x = 1 + 4 sen x ) 1 ¡ sen2 x ¡ sen2 x = 1 + 4 sen x )
2 sen2 x + 4 sen x = 0 ) 2 sen x(sen x + 2) =0. Asi, sen x = 0 y las soluciones son 0; ¼; 2¼, ya
que sen x + 2 6
= 0; 8x.
sen(2x)
sen x
2 sen x cos
sen x
=¡
)
=¡
. Multiplicando en cruz y
cos(2x)
cos x
cos2 x ¡ sen2 x
cos x
2
2
2
como sen x = 1 ¡ cos x, tenemos sen x(4 cos x ¡ 1) = 0

5. tg(2x) = ¡ tg x )

sen x = 0 ) x = 0; ¼; 2¼. (Obs¶ervese que si el dominio fuera [0; 2¼), x = 2¼ no ser¶³a soluci¶on.)
1
1
¼
¼...