Ensayo epistemiologia

EL ORIGEN DE LA DEMOSTRACION: ENSAYO DE EPISTEMOLOGIA DIDACTICA Gilbert Arsac Recherches en didactique des mathematiques, Vol 8, no 3, pp. 267-312, 1987. Traducido por Martín Acosta Resumen. La utilización de la demostración como medio de prueba es característico de las matemáticas con respecto a las otras ciencias. La demostración aparece además en Francia en los programas des tinados a alumnosde trece años. Este artículo estudia la génesis histórica de la demostración, en Grecia, en el siglo V a. C., utilizando los trabajos históricos existentes, a partir de la siguiente problemática: ¿la aparición de la demostración está relacionada con un problema interno de las matemáticas o a la influencia de la sociedad griega? Desde el punto de vista del método, tratamos de mostrar al mismotiempo que ciertos conceptos desarrollados para el análisis de las situaciones didácticas pueden servir de guía para examinar su génesis histórica. Debido a esta opción metodológica y de la selección de las preguntas abordadas, hablamos de epistemología didáctica. Los principales resultados son: - El problema de la irracionalidad está en el origen de la transformación de las matemáticas en cienciahipotéticodeductiva; - esta transformación, que implica el empleo de la demostración, así como la axiomatización, es decir el cambio de estatuto de los objetos de la matemática, desembocó en la superación de la contradicción debida al problema de la irracionalidad, pero la solución producida depende de la influencia de la sociedad griega. Introducción La demostración ocupa en matemáticas un lugarcentral pues es el método de prueba cuyo empleo sistemático caracteriza esta disciplina entre las otras ciencias. Se comprende entonces que tenga un papel importante en el currículo escolar (donde en Francia aparece desde los 13 años). Constituye entonces un objeto de estudio a priori privilegiado para el didacta de las matemáticas, aún más si se tiene en cuenta que su introducción está llena dedificultades para muchos alumnos. Toda investigación sobre su enseñanza plantea el problema de su historia, al igual que para cualquier concepto matemático, aunque la demostración no sea propiamente un concepto, sino más bien una técnica. Este artículo se dedica al estudio del origen, de la génesis de la demostración, bajo un punto de vista que precisaremos más adelante. No abordaremos el problema desu evolución ulterior, es decir la historia del rigor en matemáticas. Sobre esta pregunta, hacemos referencia a Lakatos (1984) y su abundante bibliografía. El problema de la génesis, de la aparición de una noción, puede aclarar el de su enseñanza, si se piensa utilizar las condiciones históricas de esta génesis como guía para crear en la clase las condiciones de una génesis artificial de esta mismanoción en el alumno. Desafortunadamente, a pesar del lugar de la demostración en matemáticas, la literatura sobre ella es poco abundante con excepción de Szabo (1977), a quien nos referiremos con frecuencia. Seguramente esta situación tiene dos razones de naturaleza diferente. Por una parte, parece que para los matemáticos, la demostración está orgánicamente relacionada con las matemáticas yaparece de manera natural en el curso de su desarrollo, sin que esta aparición plantee problemas a priori; así por lo menos podemos interpretar el silencio de los matemáticos a su respecto. Por otra parte, el estudio histórico del tema es difícil, como lo explicamos a continuación. En efecto, si bien existe un acuerdo sobre el lugar y la época de la aparición de la demostración en Grecia, en el sigloV antes de Cristo, no hay unanimidad sobre los detalles de la historia. Los documentos de esa época son prácticamente inexistentes, y la historia de las matemáticas de este período es conocida sobretodo por comentadores griegos tardíos y los raros extractos de textos originales que ellos citan, y por los textos contemporáneos o apenas posteriores de Platón, textos que hablan de matemáticas pero...