Ensayo resumido de la homotecia
Páginas: 3 (654 palabras)
Publicado: 17 de septiembre de 2012
¿Qué es la homotecia?
Una homotecia es una trasformación geométrica que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. Es una amplificación. Su definición rigurosaes vectorial. Una homotecia en el plano es una transformación del plano en sí mismo en donde una recta y su homóloga son paralelas. De esta definición, se sigue fácilmente que las homotecias conservanángulos, es decir son transformaciones conformes del plano, que el conjunto de homotecias forman un grupo y que las traslaciones son casos particulares de las homotecias
Definición
Sea E unespacio vectorial sobre un cuerpo K. Sea Ω un elemento (visto como un punto) de E, y k∈E un escalar.
La homotecia de centro Ω y de razón k, denotada hΩ,k envía un punto M del espacio vectorial sobre elpunto M' tal que:
Propiedades
La homotecia es una trasformación lineal y por consiguiente conserva:
1. el alineamiento: las imágenes de puntos alineados están alineados: (A,B,C) y (A',B', C') en la figura
2. el centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: la imagen del baricentro es el baricentro de las imágenes. En la figura, B es el centro de [A;C] y por lo tantoB' es el de [A';C']
3. el paralelismo: dos rectas paralelas tienen imágenes paralelas. En la figura (BE) // (CD) porque (BE) //(CD).
Además la homotecia conserva:
1. el cociente delongitudes: en la figura.
2. los ángulos orientados, en particular los ángulos rectos. Es obvio en la figura.
Más aún:
1. La imagen de una recta es otra recta paralela.
2. Todas laslongitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón.
3. Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la identidad de E: todos los puntos son fijos)4. Si k ≠ 0, hΩ,k admite como trasformación recíproca hΩ,1/k. (cuando k = 0, no es biyectiva)
5. Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia con este centro, cuya...
Una homotecia es una trasformación geométrica que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. Es una amplificación. Su definición rigurosaes vectorial. Una homotecia en el plano es una transformación del plano en sí mismo en donde una recta y su homóloga son paralelas. De esta definición, se sigue fácilmente que las homotecias conservanángulos, es decir son transformaciones conformes del plano, que el conjunto de homotecias forman un grupo y que las traslaciones son casos particulares de las homotecias
Definición
Sea E unespacio vectorial sobre un cuerpo K. Sea Ω un elemento (visto como un punto) de E, y k∈E un escalar.
La homotecia de centro Ω y de razón k, denotada hΩ,k envía un punto M del espacio vectorial sobre elpunto M' tal que:
Propiedades
La homotecia es una trasformación lineal y por consiguiente conserva:
1. el alineamiento: las imágenes de puntos alineados están alineados: (A,B,C) y (A',B', C') en la figura
2. el centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: la imagen del baricentro es el baricentro de las imágenes. En la figura, B es el centro de [A;C] y por lo tantoB' es el de [A';C']
3. el paralelismo: dos rectas paralelas tienen imágenes paralelas. En la figura (BE) // (CD) porque (BE) //(CD).
Además la homotecia conserva:
1. el cociente delongitudes: en la figura.
2. los ángulos orientados, en particular los ángulos rectos. Es obvio en la figura.
Más aún:
1. La imagen de una recta es otra recta paralela.
2. Todas laslongitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón.
3. Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la identidad de E: todos los puntos son fijos)4. Si k ≠ 0, hΩ,k admite como trasformación recíproca hΩ,1/k. (cuando k = 0, no es biyectiva)
5. Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia con este centro, cuya...
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