Ensayo soe eutanasiabr

MATEMÁTICA MÓDULO 3 Eje temático: Geometría
1. SEGMENTOS PROPORCIONALES EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO En el ∆ABC rectángulo en C de la figura:

Se pueden establecer las siguientes semejanzas: 1)

De esta semejanza, se obtienen las siguientes proporciones:

AH AC HC q b h = = ⇔ = = AC AB CB b c a
2)

De esta semejanza, se tiene:

BH BC HC p a h = = ⇔ = = BC AB CA a c b

1

3)

Deaquí se obtienen las proporciones:

AH HC AC q h b = = ⇔ = = CH HB CB h p a
De 1): De 2): De 3):

q b = b c p a = a c q h = h p

⇔ ⇔

b2 = qc a2 = pc

⇔

h2 = pq

Estas tres relaciones obtenidas corresponden al Teorema de Euclides. 1.1. TEOREMA DE EUCLIDES REFERENTE AL CATETO El cuadrado de un cateto equivale al producto del cateto por la proyección de él sobre la hipotenusa. a2 = pcb2 = qc 1.2. TEOREMA DE EUCLIDES REFERENTE A LA ALTURA El cuadrado de la altura equivale al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. h2 = pq Además de los teoremas anteriores, se puede obtener una relación para determinar la altura a través de los lados del triángulo rectángulo: De 2) tenemos que:

a h ab , por lo tanto h = = c b c

Por lo tanto, la altura equivale alproducto de los catetos dividido por la hipotenusa.

2

Otro teorema importante en el triángulo rectángulo es el siguiente: 1.3. TEOREMA DE PITÁGORAS El cuadrado de la hipotenusa equivale a la suma de los cuadrados de los catetos. c2 = a2 + b2 Podemos demostrar este teorema utilizando los teoremas anteriores, como veremos a continuación: Por Euclides tenemos que: a2 = pc y b2 = qc, entoncesa2 + b2 = pc+qc = c(p+q) ; pero p+q=c, si reemplazamos obtenemos: a2+b2= c(p+q)=c . c = c2 1.4. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS Diagonal de un cuadrado La diagonal de un cuadrado equivale al producto del lado por

2

Demostración: Utilizando el teorema de Pitágoras: d2 = a2 + a2 d2 = 2a2 /

d=a 2

3

Altura de un triángulo equilátero La altura de un triángulo equilátero equivale ala mitad del lado por

3

Demostración: Según la figura, por tratarse de un triángulo equilátero la altura cae en el punto medio del lado opuesto. Ocupando el teorema de Pitágoras:

⎛ a⎞ h + ⎜ ⎟ = a2 ⎝2⎠ a2 h2 + = a2 4 a2 2 2 h =a − 4 2 3a h2 = / 4 a h= 3 2
2

2

Ejemplo: En la figura, el polígono es un hexágono regular cuyo lado mide 12 cm. ¿Cuánto mide la superficie sombreada?

Cadauno de los triángulos sombreados corresponde a un triángulo equilátero de lado 12 cm.

4

La altura, según la fórmula anterior es:

a 12 3= 3=6 3 2 2

El área de cada triángulo sombreado es:

A=

base ⋅ altura 12 ⋅ 6 3 = = 36 3 2 2

Por lo tanto el área sombreada es: 36 3 ⋅ 3 = 108 3 cm2.

(

)

2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Supongamos que tenemos lostriángulos rectángulos ABC y DEF de la figura, que a su vez tienen un ángulo agudo α congruente.

Por el criterio (A,A) los triángulos son semejantes, por lo tanto:

a c a a' = o bien: = a' c ' c c'
Es decir, si se conoce uno de los ángulos agudos, la razón entre dos lados del triángulo rectángulo es constante. Debido a que la razón entre los lados es constante y depende exclusivamente delángulo α, se establecieron todas las razones posibles entre dos de los lados del triángulo rectángulo. Estas razones se denominan razones trigonométricas en el triángulo rectángulo y se definen de la siguiente forma: Sea el ∆ABC, rectángulo en C de la figura:

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Se definen las siguientes razones trigonométricas para el ángulo agudo α:

2.1. PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Observaque propiedades: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) las razones trigonométricas cumplen con las siguientes

sen α cos α cos α ctg α = sen α 1 ctg α = tg α 1 sec α = cos α 1 cosec α = sen α 2 cos α + se n2 α = 1 1 + t g2α = sec2 α tg α =

6

Las propiedades 6 y 7 se llaman identidades pitagóricas y las demostraremos a continuación: Demostración de 6: En el ∆ABC anterior, teníamos que:

sen α =

a b...