Ensayo

1. Vector función de un escalar
Un vector A es función del escalar u si lo es alguna de sus componentes:
A(u) = Ax(u)i + Ay(u)j + Az(u)k (1)
Al dar valores a u vamos obteniendo unaserie de vectores A ; se trata de una aplica-ción de R en R3 , u * A(u).
Si tomamos todos los vectores con ori¬gen en O, sus extremos dibujan una curva en el espacio, llamada indicatriz, de ecuacionespa¬ramétricas Ax = Ax(u) ; Ay = Ay(u) ; Az = Az(u).


Figura 1

El parámetro u representa un escalar cualquiera, pero frecuentemente se tratará del tiempo t. Del mismo modo, el vector A puededescribir muchas magnitudes físicas. Si repre-senta la posición r de un punto o partícula, la indicatriz, r(u), será su trayectoria.

2. Derivada e integral de un vector

Para un valor u del escalar elvector A viene dado por la ecuación (1). Si se incremen-ta la variable en un *u, el vector tomará un valor incrementado,
(2)
Restando (1) de (2) tenemos:
*A = A(u + *u) - A(u) = *Axi + *Ayj +*Azk (3)


donde *Ax = Ax(u + *u) - Ax(u) y análogamente para las componentes *Ay y *Az.
La derivada de A se define como el lí-mite al que tiende el cociente *A/*u cuando el incremento de lavariable se hace cada vez más pequeño; es decir:
(4)
Dicho de otro modo, la derivada de un vector es otro vector cuyas componentes son las derivadas de las componentes del primero:
(5)El vector derivada es tangente a la cur-va indicatriz, ya que *A/*u tiene la misma di-rección que *A (PQ, en la figura 2); y cuando *u * 0 , los extremos de A(u) y A(u + *u) se aproximan (Q tiende aP) y la recta PQ tiende a hacerse tangente a la curva en P.


Figura 2

Reglas de derivación

La derivación de vectores tiene propie-dades similares a las que cumplen los escala-res. Así, sitenemos los vectores A(u) , B(u) y la función escalar f(u) se verifica:

a) Derivada de la suma de vectores:
(6)

b) Derivada del producto por un escalar:
(7)

c)...