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ensayo pata todas y todos.Aplicaciones

El teorema establece la importancia de los números primos. Éstos son los "ladrillos básicos" con los que se "construyen" los enteros positivos, en el sentido de que todo entero positivo puede construirse como producto de números primos de una única manera.
Conocer la factorización en primos de un número permite encontrar todos sus divisores, primos ocompuestos. Por ejemplo, la factorización anteriormente dada de 6936 muestra que cualquier divisor positivo 6936 debe tener la forma: , donde 0 ≤ a ≤ 3 (4 valores posibles), 0 ≤ b ≤ 1 (2 valores posibles), y 0 ≤ c ≤ 2 (3 valores posibles). Multiplicando el número de opciones independientes se obtiene un total de divisores positivos
Una vez que se conoce la factorización en primos de dos números, sepueden hallar fácilmente su máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Por ejemplo, de las factorizaciones anteriores de 6936 y 1200 se puede deducir que su máximo común divisor es 2³ · 3 = 24. Sin embargo, si no se conoce la factorización en primos, usar el algoritmo de Euclides en general requiere muchos menos cálculos que factorizar los dos números.
El teorema fundamental implica que lasfunciones aritméticas aditivas y multiplicativas están completamente determinadas por sus valores en las potencias de los números primos.
Cualquier número entero n mayor que 1 puede escribirse de manera única, salvo el orden, como un producto de números primos.
[editar]Demostración

El teorema fue prácticamente demostrado por primera vez por Euclides, aunque la primera prueba completa aparecióen las Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss.
Aunque a primera vista el teorema parezca "obvio", no vale en sistemas numéricos más generales, entre estos muchos anillos de enteros algebraicos. Ernst Kummer fue el primero en notar esto en 1843, en su trabajo sobre el último teorema de Fermat. El reconocimiento de este fallo es uno de los primeros avances de la teoría de númerosalgebraicos.
[editar]Demostración de Euclides
La demostración se hace en dos pasos. En el primero se demuestra que todo número es un producto de primos (incluido el producto vacío). En el segundo se demuestra que cualesquier dos representaciones son iguales.
[editar]Descomposición en primos
Supóngase que existe algún entero positivo que no puede representarse como producto de primos. Entonces debehaber un mínimo número n con esa propiedad. Este número n no puede ser 1, por la convención anterior. Tampoco puede ser un primo, porque todo primo es el producto de un único número primo: él mismo.
Así pues, n = ab, donde a y b son enteros positivos menores que n. Como n es el mínimo entero positivo para el que falla el teorema, tanto a como b pueden escribirse como producto de primos. Peroentonces n = ab también puede escribirse como producto de primos, lo que es contradictorio.
[editar]Unicidad
La demostración de la unicidad se apoya en el siguiente hecho: si un número primo p divide a un producto ab, entonces divide a a o divide a b (lema de Euclides). Para demostrar este lema, si se supone que p no divide a a, entonces p y a son primos entre sí y por la identidad de Bézout existenx e y enteros tales que px + ay = 1. Multiplicando por b se obtiene pbx + aby = b, y puesto que los dos sumandos del lado izquierdo son divisibles por p, el término de la derecha también es divisible por p.
Dados dos productos de primos que tengan igual resultado, tómese un primo p del primer producto. Divide al primer producto, y por lo tanto también al segundo. Por el hecho anterior, p debedividir al menos a un factor del segundo producto; pero los factores son todos primos, así que p debe ser igual a uno de los factores del segundo producto. Se puede entonces cancelar a p de ambos productos. Siguiendo de esta forma se cancelarán todos los factores de ambos productos, con lo cual éstos deben coincidir exactamente.
[editar]Prueba por descenso infinito
Otra prueba de la unicidad de...