ensayo

Apuntes de Matem´tica Discreta
a
4. Permutaciones y Variaciones

Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
e
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e
C´diz, Octubre de 2004
a

Universidad de C´diz
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Departamento de Matem´ticas
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ii

Lecci´n 4
o

Permutaciones y Variaciones
Contenido
4.1

Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
o
4.1.2 N´mero de Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.2 Permutaciones con Repetici´n . . . . . . . . . . . . . . .
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4.2.1 Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
4.2.2 N´mero de Permutaciones con Repetici´n . . . . . . . .
u
o
4.3 Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Definici´n . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
o
4.3.2 Formaci´n y N´mero de Variaciones . . . . . . . . . . .
o
u
4.4 Variaciones con Repetici´n . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
4.4.1 Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
4.4.2 Formaci´n y N´mero de las Variaciones con Repetici´n
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Estudiamos en esta lecci´n las distintas colecciones que pueden formarse con los elementos de unconjunto
o
con un n´mero finito de ellos. Estableceremos los conceptos de permutaci´n y variaci´n, calculando su
u
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o
n´mero. Algunos ejemplos ilustrar´n las situaciones en las que se plantea la necesidad de calcular
u
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permutaciones y variaciones.
Supongamos que a1 , a2 , . . . , am son m objetos. Plantearemos problemas tales como cu´ntas ordenaciones
a
distintas de los mismospueden hacerse o cu´ntos grupos de n objetos pueden extraerse de ellos en
a
determinadas condiciones.

4.1

Permutaciones

Supongamos que los objetos aludidos al principio de la lecci´n son cinco, es decir, m = 5 y que son
o
personas, es decir disponemos de un conjunto de cinco personas y nos planteamos la siguiente cuesti´n:
o
¿De cu´ntas formas diferentes pueden situarse estas cincopersonas en la cola de un cine?
a
La primera posici´n de la cola puede estar ocupada por cualquiera de ellas, luego habr´ para la
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misma cinco opciones posibles.
Una vez ocupada la primera posici´n de la cola, quedar´n cuatro personas para la segunda, luego
o
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habr´ cuatro opciones posibles para la misma. Por el principio de multiplicaci´n las dos primeras
a
o
posiciones de la colapueden ocuparse, por tanto, de 5 · 4 formas distintas.
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Universidad de C´diz
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Departamento de Matem´ticas
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Para cada una de estas formas quedar´n tres personas para ocupar la tercera posici´n. Por el
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o
principio antes citado, las tres primeras posiciones de la cola podr´n ocuparse de 5 · 4 · 3 formas
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diferentes.
Una vez ocupadas las tres primeras posiciones, quedar´n dospersonas para ocupar la cuarta. Un
a
razonamiento an´logo a los anteriores nos permite concluir que las primeras cuatro posiciones
a
pueden ocuparse de 5 · 4 · 3 · 2 formas distintas.
Finalmente, queda una persona y una posici´n libre en la cola, por tanto, el n´mero total de formas
o
u
posibles de situarse las cinco personas en la cola es:
5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
Este ejemplo nos servir´para introducir, definir y calcular las permutaciones de n elementos.
a

4.1.1

Definici´n
o

Dada una colecci´n de n objetos a1 , a2 , . . . , an , llamaremos permutaci´n a cualquier ordenaci´n de los
o
o
o
mismos. Por tanto, dos permutaciones ser´n distintas si los objetos est´n colocados en orden diferente.
a
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Por ejemplo, en una colecci´n de cinco objetos, a1 , a2 , a3 , a4 y a5...