ensayo

DIFERENCIALES

Recuerde que para una función de una variable, y

y
y la diferencial de y como

f (x
dy

x)

f x , se define el incremento de y como

f x

f x dx

La figura muestrala relación entre

y y dy :

y representa el cambio

en la altura de la curva

y f x y dy representa el cambio en la
x.
altura de la recta tangente cuando x varía en una cantidad dx

Ahoraconsideremos una función de dos variables, z f x, y . Si x
x y y , entonces el incremento correspondiente de z
y y son los incrementos dados
es
z f ( x x, y
y) f x, y
Así que el incremento zrepresenta el cambio en el valor de f cuando ( x, y ) cambia a
(x
x, y
y ).
Las diferenciales dx y dy son variables independientes; es decir, pueden tomar cualquier valor.
Por lo que la diferencialdz , también llamada la diferencial total, se define como
Definición de Diferencial Total
y son incrementos de x y y, las diferenciales de las variables
x,
Si z f x, y , y
x y dy
y , y ladiferencia total de la variable
independientes x y y son dx
dependiente z es
z
z
dz
dx
dy f x x, y dx f y x, y dy
x
y

Ejercicios

1.

Halle la diferencial total:
a)

z

2 x sen y 3x2 y2

b)

w x2

y2

z2

c)

z

x2 xy

d)

w x2 2 y3 3z 4

e)

z 3x 2 y 3

f)

z

1
x y2
2

28

g)
i)
2.

a)
b)

3.

w 2 z3 y sen x

h)

z

x cos y y cosx
x y
w
z 2y

Si z f x, y x 2 3xy y 2 , encuentre la diferencial dz.
Si x cambia de 2 a 2.05, y y cambia de 3 a 2.96, compare los valores de
z y dz.

Utilice la diferencial para estimar elcambio de z

4 x2

y 2 cuando

x, y

se

desplaza desde el punto 1, 1 hasta el punto 1.01, 0.97 .
4.

Evalúe

z para z

x2 xy . ¿Cuál es el cambio en la función de 1, 1 a 1.2, 0.7 ?Debe tenerse cuidado al consultar textos de Matemáticas, ya que en muchos de ellos se utiliza el
término “diferenciable” en el caso de una variable como sinónimo de derivable. Con ese convenio,...