Ensayo

Valores y Vectores Característicos

Definición
Sea una A matriz cuadrada n x n con componentes reales o complejas, el número λ se denomina valor propio o valor característico de A si existe unvector V diferente de cero o tal que AV = λV. El vector V diferente de cero se denomina vector propio o vector característico de A correspondiente al valor propio de A.

Los valores propios y vectorespropios se conocen también como eigenvalores y eigenvectores. Estos valores y vectores propios se utilizan generalmente en sistemas lineales de ecuaciones homogéneas que representan problemas deingeniería.

El cálculo de los valores propios y de los vectores propios de una matriz simétrica tiene gran importancia en las matemáticas y en la ingeniería, entre los que cabe destacar, el problemade la diagonalización de una matriz, el cálculo de los momentos de inercia y de los ejes principales de inercia de un sólido rígido, o de las frecuencias propias de oscilación de un sistema oscilante.Propiedades:
El escalar λ es valor propio de A si existe v ≠ 0 tal que Av = λv.
El vector v es vector propio de A asociado a λ si Av = λv.
El escalar λ es valor propio de A si y solo si det(A -λI) = 0.
El vector v es vector propio de A asociado a λ si (A - λI)v = 0.

Procedimiento para calcular valores propios y vectores propios:
1. Se encuentra A-λI
2. Se encuentra det (A-λI)
3. Seencuentra P(λ)= det (A-λI) = 0
4. Se determinan las raíces λ1, λ2, λ3… λm por método algebráico.
5. Se encuentran los vectores característicos para cada una de las λ del paso anterior. Utilizando (A-λI) V=0 sale un sistema de ecuaciones homogéneas y se procede a determinar la forma de los vectores.



Polinomio característico
Si A es una matriz cuadrada n x n entonces λ es un valor propio deA si y solo si:
P(λ)= det (A-λI) = 0
En otras palabras, todo valor propio λ debe ser raíz del polinomio característico asociado a A.
Esta ecuación se denomina ecuación característica de A....