ensayo


Matemática de Relación y de Función

En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.
Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio lecorresponde uno y sólo un valor del Recorrido.
De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.
También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función.
Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano.
Ver: Plano Cartesiano
Dados dos conjuntos A y B una relacióndefinida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas (par ordenado) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B
Ejemplo 1.
Si A = {2, 3} y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B.
Solución
El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados:A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}

Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B:

R1 = {(2, 1), (3, 1)}
R2 = {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)
R3 = {(2, 4), (3, 5)}

Ordentotal
En matemáticas, un orden total, orden lineal, orden simple, o simplemente orden en un conjunto X es una relación binaria sobre X que es antisimétrica, transitiva, y total; esto es, si se denota una tal relación por ≤, lo siguiente vale para cualesquiera a, b, y c en X:



a ≤ a (reflexividad)
Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b (antisimetría).
Si a ≤ b y b ≤ c,entonces a ≤ c (transitividad).
a ≤ b o b ≤ a (totalidad o completitud).
La propiedad de totalidad de esta relación se puede también describir como que todo par de elementos son comparables bajo la relación.
Por tanto, un orden total es un orden parcial que cumple la comparabilidad.
Un conjunto dotado de un orden total se denomina conjunto totalmente ordenado, linealmente ordenado, simplemente ordenado, o cadena.
Nótese quela condición de totalidad implica reflexividad, esto es, a ≤ a para todo a ∈ X; por lo tanto, un orden total es también un orden parcial, esto es, una relación binaria reflexiva, antisimétrica, y transitiva. Un orden total, entonces, puede también definirse como un orden parcial que sea "total", i.e. que cumpla con la condición de totalidad.
Como alternativa, se puede definir un conjuntototalmente ordenado como un tipo particular de retículo, en el que se tiene {a ∨ b, a ∧ b} = {a, b} para cualesquiera a, b. Se escribe entonces a ≤ bsi y solo si a = a ∧ b. Se deduce que un conjunto totalmente ordenado es un retículo distributivo.
Conjunto
En matemáticas, especialmente en teoría del orden, un conjunto parcialmente ordenado es un conjunto equipado con una relación binaria de ordenparcial. Ésta formaliza el concepto intuitivo de orden, secuencia, o arreglo de los elementos del conjunto. Un tal orden no necesariamente debe ser total, es decir, no se necesita que se puedan comparar unos con otros todos los elementos del conjunto; esto sin embargo puede ocurrir en algunos casos (en otras palabras, el orden total es un caso particular del orden parcial).
Si (A, ≤) es un conjunto bienordenado, y B es un subconjunto de A con la relación de orden inducida y f:A → B un isomorfismo, entonces para todo a ∈ A, vale a ≤ f(a).
Dado un número ordinal (teoría de conjuntos) α, el conjunto de todos los números ordinales β < α es un conjunto bien ordenado. Así \mathbb{N} es isomorfo al conjunto ordenado {β: β < ω}.
Teorema. Para todo conjunto bien ordenado (A, ≤) existe un único...