ensayo

Si bien las transformaciones lineales pueden estudiarse sin hacer referencia alguna a las bases de los espacios dominio y codominio, un cálculo efectivo de las mismas exige el conocimiento de dichasbases.

Cualquier transformación lineal T: V ® W puede representarse mediante una matriz: T(x) = A x. La matriz A dependerá de las bases elegidas para V y W. La matriz de una transformación linealqueda determinada cuando se conocen una base ordenada de V, una base ordenada de W y los transformados de la base de V, en la base de W.

Supongamos que el espacio V tiene una base {v1, ..., vn} y elespacio W tiene una base {w1, ..., wm}. Entonces cualquier transformación lineal de V en W se representa por una matriz A m x n.

Si T (vi ) = ai1 w1 + .... + aim wm, entonces la columna i de A es(ai1 .... aim )T
}Comenzamos definiendo una tranformación lineal. Ejemplos típicos son la derivada y la integral, al igual que las proyecciones. Definimos el kernel y rango de una transformaciónlineal T : V ® W y los denotamos por N(T) y R(T) respectivamente. Es un ejercicio verificar que N(T) £ V y R(T) £ W. Definimos nulidad(T) = dim(N(T)) y rango(T) = dim(R(T)).

TEOREMA 2.1 Si T : V ® W esuna transformación lineal, entonces V es dimensionalmente finito si y sólo si N(T) y R(T) son dimensionalmente finitos, y en este caso,

dim(V) = nulidad(T) + rango(T).

Demostración

Dados dosespacios vectoriales V y W sobre un campo F, definimos

L(V, W) = {T : V ® W | T es una transformación lineal}.

Si T, U Î L(V, W) y a Î F, definimos aT + U : V ® W como (aT + U)(x) = aT(x) +U(x) para toda x Î F. Es un ejercicio verificar que aT + U es una transformación lineal y que L(V, W), junto con estas operaciones de suma y de multiplicación por escalares, es un espacio vectorial sobreF.

Definimos el que una función fuera inyectiva, sobre y biyectiva. Es un ejercicio demostrar que para una transformación lineal T : V ® W, las siguientes condiciones son equivalentes:

T es...