ensayo





GUIA DE EJERCICIOS N° 6.
ALGEBRA LINEAL.
I.C.I.

1. Sea la forma bilieneal , definida por

.
a) Determinar la representación de enla base canónica.
b) Determinar la representación de en la base


2. Hallar la matriz simétrica que corresponde a cada uno de los siguientes polinomios cuadráticos.
a)b)
c) d)
e) q(x,y) = 4x2 – 6xy – 7y2 f) q(x,y,z) = x2 – 2xy - y2 – z2

3. Dada la matriz simétrica , hallar una matriz no singulartal que sea diagonal y determine además su signatura.

4. Sea f la forma bilineal sobre IR3, definida por:
f((x1, x2, x3),(y1, y2, y3)) = 3x1y1 – 2x1y2 + 5x2y1 + 7x2y2 – 8x2y3 +4x3y2 – x3y3.
Hallar una representación matricial de f respecto a la base canónica. Hallar una representación de f. Respecto a la base B = (1,1,1),(1,-1.1),(0,2,1). Pruebe explícitamente quelas anteriores matrices son congruentes.

5. Sea A una matriz de orden n, simétrica, es decir A = At, sea la aplicación , definida por fA(X,Y) = Xt A Y, en que X e Y son vectorescolumna en IRn. Pruebe que es una forma bilineal simétrica.
Reciprocamente, asumiendo que A es una matriz de orden n, tal que fA(X,Y) = fA(Y,X), para todo X, Y; demuestre que A essimétrica.



6. Sea la forma cuadrática q(X) = Xt X, se pide :

a) Expresar q en forma polinómica.
b) Encuentre una expresión diagonal de q.
Clasificar q.

7. Sea V un espaciovectorial con producto escalar. Pruebe que 0V,v = 0, para todo vector v en V.

8. Sean v1 , v2 , . . . , vn , vectores ortogonales de un espacio vectorial con producto interno definidopositivo, en que vi  0V, para todo i. Demuestre que dichos vectores son l.i.

9. Encuentre una base ortogonal para IR3, que contenga los vectores, (1,1,-1), (1,0,1).

10. Encuentre...