Ensayo

Reglas para derivar funciones algebraicas

El método de los incrementos estudiado anteriormente para obtener la derivada de una función, resulta largo y en algunos casos dificultoso. Por esta razón es importante deducir fórmulas de derivación para cada una de las operaciones algebraicas, con la finalidad de obtener una derivada de una manera rápida y sencilla.
Desde luego el método de losincrementos es importante por cuanto de el obtendremos las fórmulas de derivación.
A continuación indicaremos las diferentes fórmulas de derivación en función de la operación algebraica considerada y en ciertos casos expondremos su deducción.

1.- La derivada de una constante es 0

Supongamos la función y = c. Por el método de los incrementos
y+ y = c
-y = -c
y = 0

x  0pero como y = c


Ejemplo:



2.-La derivada de una variable con respecto a si misma es igual a 1.
Supongamos la función y = x. Por el método de los incrementos
y+ y = x + x
-y = -x
y = x


x  0


pero como y = x



Ejemplo:



3.- La derivada de una suma algebraica de varias funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de cadauna de las funciones.


Ejemplo:




Si y = 2x3 + 4x2 - 8x + 3






4.- La derivada del producto de una constante por una variable es igual a la constante por la derivada de la variable

(c.v) = c.

Supongamos la función y = c.v. Por el método de los incrementos
y + y = c(v+v)
y + y = cv+cv
-y = -cv
y = c.v



x  0


Pero y = c.vEjemplo:


Como frecuentemente buscaremos las derivadas de productos como 3x; 5x; ax; b2x, etc es importante que lo hagamos de una manera rápida y sencilla, para eso razonemos y concluyamos.

Ejemplo:




5.-La derivada del producto de 2 funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera.



6.- La derivada de la potenciade una función es igual al exponente por la función elevada al exponente disminuido en 1 y por la derivada de la función.


Ejemplo


7.- Como caso especial obtendremos la fórmula 7; válida únicamente cuando se deriva una variable con respecto a si misma.



Ejemplo








También es importante analizar la derivada de productos como 5x2; 3x-4; 6x2/3, etc.




8.- Laderivada del cuociente de 2 funciones es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador y todo dividido para el denominador elevado al cuadrado.




9.- La derivada del cuociente de una función para una constante es igual a la derivada de la función dividida para la constante.





10.- La derivada del cuociente de una constante parauna función es igual a menos la constante por la derivada de la función y todo dividido para la función elevada al cuadrado.


Una vez revisadas estas diez fórmulas estamos en capacidad de hallar la derivada de una función algebraica por muy compleja que esta sea.
La estrategia para hallar la derivada de una función consiste en analizar que operaciones presenta la función, de tal manera deaplicar las fórmulas que correspondan a cada operación.

1.- y = (3x2 + 5)(2x3+1)
Vamos a derivar el producto de 2 funciones (5)


Luego aplicamos la derivada de una suma algebraica (3)


Aplicaremos ahora la derivada de una potencia (7), la derivada del producto de una constante por una función (4) y la derivada de una constante (1)





Una vez terminada la derivación procederemos arealizar las operaciones indicadas y luego a simplificar



2.-














3.- las raíces se transforman en potencia




















4.-


















Estos ejemplos nos han permitido analizar el proceso para hallar la derivada de una función, conforme vayamos resolviendo ejercicios adquiriremos cierta destreza, merced...