ensayo

I

Notas de Clase
Geometr´a Vectorial y Anal´tica
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Diego Mej´a Duque (coordinador del curso)
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Profesor Escuela de Matematicas
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Universidad Nacional de Colombia Sede Medell´n
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II

Cap´tulo 1
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Vectores y rectas en el plano cartesiano:
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Leccion 1
1.1. La recta num´ rica
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Comencemos el estudio de la geometr´a anal´tica recordando la imagen geoı
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m´ trica (ovisual) del conjunto R de los numeros reales. Dibujemos una l´nea
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recta y en ella escojamos un punto cualquiera que llamamos origen denotado
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por la letra O (o mayuscula). Al origen le asignamos el numero real 0. A conti´
nuacion seleccionamos (arbitrariamente) una unidad de medida y dibujamos
sobre la recta el punto U correspondiente a la unidad de medida. Al punto U
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(que esdistinto del origen) le asignamos el numero real 1.
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El punto U nos proporciona una orientacion de la recta en el siguiente
sentido: llamamos lado positivo de la recta al rayo que sale del origen en la
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direccion del punto U , y lado negativo al rayo que sale del origen en direccion
contraria al punto U .
En seguida establecemos una correspondencia biun´voca (es decir, corresı
´pondencia uno a uno) entre los numeros reales y los puntos sobre la recta:
si P es un punto situado del lado positivo de la recta que dista p unidades
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del origen entonces le asignamos el numero real p, y si esta situado del lado
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Vectores y rectas en el plano cartesiano: Leccion 1

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negativo le asignamos el numero real −p. As´, los numeros reales positivos
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correspondena los puntos situados del lado positivo de la recta, y los negativos a los puntos situados del otro lado de la recta. Esta imagen visual de los
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numeros reales es lo que llamamos recta numerica o recta real o, inclusive, eje
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coordenado.
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La identificacion anterior nos permite denotar un punto A sobre la recta
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teniendo en cuenta el numero real a que le corresponde, el cual llamamos lacoordenada del punto, y escribimos A = (a) (ver Figura 1).

U
O
A

(1)
(0)

(+)

Lado positivo

(a)

(-)
Lado negativo
Figura 1

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Quiza la primera inquietud que surge de forma natural es como expresar la
distancia entre dos puntos A = (a) y B = (b) de la recta num´ rica con base
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en sus coordenadas. Supongamos inicialmente el caso particular en el que el
punto B es elorigen O = (0). Nuestro modelo visual nos dice que si el punto
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A esta del lado positivo de la recta entonces la distancia entre ambos puntos
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debe ser a unidades, mientras que si A esta del lado negativo la distancia entre
ambos puntos es −a unidades. En otras palabras, nuestro modelo visual nos
dice que la distancia entre el punto A = (a) y el origen O = (0) es el valor
absoluto de lacoordenada a del punto A.
Supongamos ahora que el punto B no es el origen y que tanto A como B se
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encuentran del lado positivo de la recta. Si el punto A esta a la ”derecha”del
punto B, es decir, si a > b, estaremos de acuerdo en que la distancia entre

1.1. La recta num´ rica
e

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ambos puntos es igual a la distancia entre el origen y el punto A menos la
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distancia entre elorigen y el punto B, esto es: a − b unidades; y si B esta a la
”derecha”de A entonces esta distancia es b − a unidades. Ambas situaciones
se resumen diciendo que la distancia entre A y B es |a − b| unidades.
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En seguida suponemos que el punto A esta del lado positivo de la recta
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mientras que el punto B esta del lado negativo; es decir, a > 0 y b < 0 (ver
Figura 2). En este caso estaremos deacuerdo en que la distancia entre ambos
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puntos es igual a la distancia entre el punto A y el origen mas la distancia
entre el punto B y el origen, es decir, dicha distancia es igual a a + (−b) = a − b
´
unidades. Si la situacion fuera al contrario, con el punto B del lado positivo y
el punto A del lado negativo, entonces llegamos a que la distancia entre ambos
puntos es b − a unidades....