ensayo

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática
y Ciencia de la Computación

2º Semestre 2007
Asignatura: Geometría
Facultad Tecnológica
Carreras TecnológicasJueves 11 de Octubre
Pauta PEP Nº 2 – Geometría

Nombre:
Carrera:
Profesor:

RUT:
Tecnología en
H. Carreño G.

Nota:
O. Catalán

D. Jara

Nota: Puntaje +1

Parte 1:

D. SalazarTiempo de duración: 90 minutos

Problema 1:

1.

Hallar la fórmula para tan
Desarrollo:
tan

( )=
y
2

=

( ).
y
2

()
()

sen
cos

y
2
y
2

1 − cos y
2
1 + cos y
21 − cos y
=

2
1 + cos y
2

=

=

2.

Demuestre que sen 2 y =

1 − cos y
1 + cos y

1 − cos y
1 + cos y

2 tan y
.
1 + tan 2 y

Desarrollo:

2·

2 tan y =
1 + tan 2 yseny
cos y

⎛ seny ⎞
1+ ⎜
⎜ cos y ⎟
⎟
⎝
⎠

2

2seny
cos y
=
sen 2 y
1+
cos 2 y

Universidad de Santiago

Facultad Tecnológica

=

2 seny
cos y
cos 2 y + sen 2 y
cos 2 y=

=

2 seny
cos y
1
cos 2 y
2seny
cos 2 y
·
cos y
1

= 2·seny · cos y

= sen 2 y
1,5 puntos
Problema 2:

Sabiendo que sen(18º ) =
a.

5 −1
.
4

Calcule sen(9º ) .Desarrollo:
Se sabe que sen(18º ) =

5 −1
5+ 5
, entonces 1 − sen 2 (18º ) =
, es
4
8

10 + 2 5
5+ 5
, por tanto cos(18º ) =
, ahora
8
4
podemos calcular lo pedido
⎛ 18 ⎞
sen(9º ) = sen⎜ ⎟⎝ 2⎠
decir

cos 2 (18º ) =

=

=

=

=
=

PEP Nº 1 - Geometría

1 − cos(18)
2

1−

10 + 2 5
4
2

4 − 10 + 2 5
4
2

4 − 10 + 2 5
8
8 − 2· 10 + 2 5
4

2º Semestre2007 – Pág.: 2

Universidad de Santiago

Facultad Tecnológica

b.

Demostrar que sen(36º ) =

10 − 2· 5
4

Desarrollo:
sen(36º ) = sen( 2·(18) ) = 2·sen(18)·cos(18)

⎛ 5 − 1 ⎞ 10 + 2 5⎟·
= 2·⎜
⎜ 4 ⎟
4
⎠
⎝
⎛ 5 − 1 ⎞ 10 + 2 5
⎟·
=⎜
⎜ 2 ⎟
4
⎠
⎝
=

=
=

=
=
=
=
Parte 2:

Problema 1:

( 5 − 1) · 10 + 2 5
8

( 5 − 1) 2 · 10 + 2 5
8
6 − 2 5 · 10 + 2 5
8...