ensayo

Ejercicios Tema 6: INFERENCIA ESTADÍSTICA

6.16

EJEMPLOS

6.16.1

1

EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio 1 Sea una m.a.s. de tamaño
media la expresión

de una población
X

=

=1

determinar K para que el estadístico

(

) , considerando como estimador de la

X

¢

¢

sea insesgado.

Solución.T será un estimador insesgado de

si veri…ca:
[ ]=

Por tanto:
"X
=1

¢

#

X

=

¢

=1

"

X

¢

=1

[
#

=

]=

¢

¢

=1

¢

=

¢

¢

X
=1

+1
¢
2

Por tanto, distinguiremos dos posibilidades:
-) Si

=0
Para cualquier valor de

-) Si

,

será insesgado de

ya que

[ ]=0

6= 0
será insesgado de

Ejercicio 2 Calcular el percentil

0 95

y

0 25

,K=

2
¢ ( + 1)

en cada uno delos siguientes casos:

1. En una distribución t-Student con 3 grados de libertad.
2. En una distribución t-Student con 30 grados de libertad.
3. En una distribución t-Student con 52 grados de libertad.
4. En una distribución t-Student con 120 grados de libertad.

Solución.-

CURSO EIR-2003

c
°A. Gámez, L.M. Marín, R. Huertas y S. Fandiño

Ejercicios Tema 6: INFERENCIA ESTADÍSTICA1. Recordemos que

0 95

2

es aquel número real que veri…ca:
[ ·

0 95 ]

= 0 95

Para encontrar este valor en la tabla de la distribución t-Student bastará:
-) Localizar en la primera columna los grados de libertad, en este caso: 3.
-) Localizar en la primera …la la probabilidad acumulada, en nuestro caso: 0 95
-) Movernos horizontal y verticalmente desde las posicionesanteriores hasta cruzarnos en el punto
0 95 .
Por tanto el percentil

0 95

, en una t-Student con 3 grados de libertad será el valor:
= 2 3534

0 95

es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemos horizontalmente hasta la primera columna, llegaremos al
valor 3 (grados de libertad), y si lo hacemos verticalmente hacia la primera …la llegaremos al valor 0.95
(probabilidad acumulada).
Como enla tabla únicamente tenemos tabulada la t-Student para colas probabilísticas que van desde
0 75 hasta 0 999 , para calcular el percentil 0 25 , tendremos que realizar la siguiente consideración:
[ ·

0 25 ]

=1¡ [ ¸

0 25 ]

Como la distribución t-Student es simétrica, se veri…ca:
0 25

=¡

0 75

y resulta:
[ ·

0 25 ]

=1¡ [ ·

0 75 ]

Por tanto, buscando en la tablacon los datos:
Grados de libertad :
Cola de probabilidad :

3
0.75

tenemos:
0 25

=¡

0 75

= ¡0 7649

2. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de modo similar al caso anterior, pero buscando en la
…la 30 de la tabla. Resultando:
0 95

= 1 6973

y
0 25

=¡

0 75

= ¡0 6828

3. En el caso que nos ocupa observamos que para 52 grados de libertad no haytabulación de la t-Student
en la tabla, en tal caso podremos actuar de dos formas posibles:
CURSO EIR-2003

c
°A. Gámez, L.M. Marín, R. Huertas y S. Fandiño

Ejercicios Tema 6: INFERENCIA ESTADÍSTICA

3

(a) Aproximar el valor del percentil con la tabulación de 50 grados de libertad, resultando:
0 95

= 1 6759

y
=¡

0 25

0 75

= ¡0 6794

(b) Realizar una interpolación lineal . Esdecir, en el caso
por los puntos:
(50 1 6759)

y

0 95

consideraríamos la recta que pasa

(60 1 6706)

y predecimos el valor cuando = 52
La recta viene dada por la expresión:
¡
1¡

0)

¡
1¡

0)

¡

=

(
(

1

0

=

+

(
(

1

0

sustituyendo,
= 1 6759 +
simpli…cando resulta:

0)

0)

( ¡

0)

( ¡

0)

(1 6706 ¡ 1 6759)
( ¡ 50)
(60 ¡50)

= 1 702 4 ¡ 0 000 53
Por tanto, podemos predecir el valor
= 52

0 95

=)

realizando una interpolación lineal simple:

= 1 7024 ¡ 0 00053 ¤ 52 = 1 6748

podemos observar que el valor obtenido es muy similar a 1 6759 .
Del mismo modo se calcularía el percentil 0 25
4. En este caso tenemos dos opciones para calcular, de modo aproximado, los percentiles

0 95

y

0 25...