ensayo

Función compuesta

Dadas dos funciones f(x) y g(x), se llama función compuesta de f con g, y escribimos g o f, a aquella función en la que la imagen de un número real x es el resultado de actuarsucesivamente sobre x primero f y después g.


Para hallar la expresión analítica de la función compuesta de dos funciones se aplica el resultado anterior:
(gof) (x) = f[g(x)].

Ejemplo: Seanlas funciones f(x) = 3x - 2 y g(x) = 2x + 5; entonces la función compuesta de f con g es (gof)(x) = g[f(x)] = g(3x - 2) = 2(3x - 2) + 5 = 6x - 4 + 5 = 6x + 1.

En el razonamiento anterior se hatenido en cuenta que si g(x) = 2x + 5, y por lo tanto,
g(3x - 2) = 2(3x - 2) + 5.
Propiedades de la composición

ASOCIATIVA: Dadas tres funciones cualesquiera f(x), g(x) y h(x) se cumple que ho(gof) =(hog)of.

CONMUTATIVA: La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir, gof y fog son en general dos funciones distintas.

En el ejemplo anterior (gof)(x) =6x + 1, sin embargo,(fog)(x) = f[g(x)] = f(2x + 5) = 3(2x + 5) - 2 = 6x + 15 - 2 = 6x + 13, luego las funciones gof y fog son distintas.

FUNCIÓN IDENTIDAD: La función i(x) = a que hace corresponder a cada número realcon él mismo, al componerla con cualquier función f(x) da de resultado f(x). Además i(x) conmuta con todas las funciones, por tanto i(x) es el elemento neutro de la composición de funciones.Recíproca o inversa

Consideremos la función y = 2x - 3, si nos preguntamos ¿cuál es el origen de 5?, es decir, ¿qué número real tiene por imagen 5?

Para obtener la respuesta buscaremos un x tal que 2x- 3 = 5, 2x = 5 + 3, 2x = 8, x = 4; luego 4 es el origen de 5..

También podemos preguntarnos cual es el origen de un número real y cualquiera. Procediendo como en el caso anterior, buscamos elnúmero o los números x tales que 2x - 3 = y, luego 2x = y + 3, x = .

La última expresión relaciona cada número real y con su origen x, por tanto establece una relación de dependencia entre un...