Ensayo

Capítulo 5
Análisis de regresión
INTRODUCCIÓN
OBJETIVO DE LA REGRESIÓN
Determinar una función matemática sencilla
que describa el comportamiento de una variable
dados los valores de otra u otras variables.
DIAGRAMA DE DISPERSIÓN

Figura1

Figura1: Diagrama de dispersión que relaciona la variable longitud (y ) con una
variable altura (x) de la concha Patelloida Pygmatea
47

48Análisis de regresión

Investigador
⇓

Especificación de la forma funcional de la función de regresión

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
Suponemos un modelo en la forma
yi = β 0 + β 1xi + εi ; i = 1, . . . , n

¥
¥

yi : v.a. que representa la observación i−ésima de la variable respuesta,
correspondiente al i−ésimo valor xi de la variable predictiva X
εi : Error aleatorio no observableasociado a yi .

EJEMPLOS DE MODELOS DE REGRESIÓN SIMPLE

1) El consumo de gasolina de un vehículo, cuya variación puede ser explicada
por la velocidad media del mismo. Podemos incluir en el término del error
aleatorio el efecto del conductor, del tipo de carretera, las condiciones
ambientales, etc.
2) El presupuesto de una universidad, cuya variación puede ser predicha por
la variableexplicativa número de alumnos. En el término del error aleatorio
pueden incluirse el efecto del número de profesores, del número de laboratorios, de la superficie disponible de instalaciones, del número de personal
de administración, etc.

Análisis de regresión

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ESTIMACIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS

b
b1 = β 1 =

Cov(x, y )
2
Sx

;

b
b0 = β 0 = y − b1x
¯
¯

RECTA DE REGRESIÓNESTIMADA

b
yi = β 0 + β 1 xi
bb
¥

o

yi = y + β 1 (xi − x)
b
¯b
¯

b
β 1 : la variación que se produce en y por cada unidad de incremento en x
b
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL
Es una medida de la asociación lineal de las variables x e y
r=

Cov (x, y )
,
Sx Sy

−1 ≤ r ≤ 1

¥

Si r = −1 ⇒ relación lineal negativa perfecta entre x e y

¥

Si r = 1 ⇒ asociaciónlineal positiva perfecta entre x e y

¥

Si r = 0 ⇒ no existe ninguna relación lineal entre x e y

50

Análisis de regresión

ANÁLISIS DE LA VARIANZA

Si yi son estimadores de yi
b

⇓

yi − y = (yi − yi ) + (yi − y )
¯
b
b¯
ECUACIÓN BÁSICA DEL NÁLISIS DE LA VARIANZA
X

2

(yi − y ) =
¯

X

2

(yi − yi ) +
b

X

(yi − y )2
b¯

SCT = SCE + SCReg
SCT : Suma decuadrados total
SCE : Suma de cuadrados residual
SCReg : Suma de cuadrados de la regresión

Fuentes de
Variación
Regresión
Error
Total

Tabla ANOVA
Sumas de Cuadrados Grados de
libertad
P
SCReg = (yi − y )2
b¯
1
P
SCE = (yi − yi)2
b
n−2
P
SCT = (yi − y )2
¯
n−1

Cuadrados
medios
MCReg
SCE
M CE =
n−2
SCT
n−1

F
M CReg
M CE

Análisis de regresión

51COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN
Estadístico que representa la proporción de variación
explicada por la regresión
Es una medida relativa del grado de asociación lineal entre x e y

R2 =

SCReg
SCE
=1−
; 0 ≤ R2 ≤ 1
SCT
SCT

¥

Si R2 = 0 ⇒ SCReg = 0 ⇒ El modelo no explica nada de y a partir de x.

¥

Si R2 = 1 ⇒ SCReg = SCT ⇒ Ajuste perfecto: y depende funcionalmente
de x .

F

Unvalor de R2 cercano a 0 ⇒ Baja capacidad explicativa de la recta.

F

Un valor de R2 próximo a 1 ⇒ Alta capacidad explicativa de la recta.
EL CONTRASTE DE REGRESIÓN

½

H0 : β 1 = 0
H1 : β 1 6= 0

Fijado un nivel de significación α , se rechaza H0 si Fexp > Fα,1,n−2

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Análisis de regresión

EJEMPLO

La Patelloida Pygmatea es una lapa pegada a las rocas y conchas a lo largo delas costas protegidas en el área Indo-Pacífica. Se realiza un experimento para
estudiar la influencia de la altura (x) de la Patelloida Pygmatea en su longitud
(y ) medidas ambas en milímetros. Se tienen los siguientes datos:
x
0.9
1.5
1.6
1.7
1.7
1.8
1.8

y
3.1
3.6
4.3
4.7
5.5
5.7
5.2

x
1.9
1.9
1.9
2.0
2.0
2.0
2.1

y
5.0
5.3
5.7
4.4
5.2
5.3
5.4

x
2.1
2.1...