ensayo

4. TRIGONOMETRÍA


La palabra “trigonometría” deriva del griego y significa “medida del triángulo”. De hecho esta rama de la Matemática se desarrolló inicialmente, estudiando las relaciones entre los ángulos y lados de un triángulo, por ejemplo, las llamadas funciones trigonométricas, las que pueden ser consideradas como funciones cuyos dominios son ángulos o cuyo dominio son los númerosreales, en este último caso se les conoce como funciones circulares.

4.1. ÁNGULOS

Ángulo (lo abreviaremos con el signo ) es el conjunto de puntos generado por la rotación de una semirrecta alrededor de su extremo, desde una posición inicial (“lado inicial”) hasta una final (“lado final”). El extremo de la semirrecta se llama vértice del ángulo.








Un ángulo es positivo si larotación es en el sentido contrario a los punteros del reloj; en caso contrario es negativo.

Las unidades de medida más frecuentes de un ángulo son : grado sexagesimal y radián. En el sistema sexagesimal el ángulo (completo) obtenido por una rotación completa de la semirrecta en el sentido positivo, tiene una medida de 360º. Así, un grado (1º) es 1/360 por la medida de un ángulo completo. Un grado sedivide en 60 partes iguales, llamadas minutos (), y cada minuto se divide en 60 partes iguales, llamadas segundos ().

Para definir los radianes se considera el arco s intersectado por el  sobre una circunferencia unitaria de centro O (O = vértice del ) y radio r. Se sabe que es una constante que sólo depende de .








Definición 4.1.1: Si r = 1, la medida en radianes de  esrad = s. Es decir, la medida en radianes de un  es la medida del arco que  intercepta sobre la circunferencia unitaria.

Si º es la medida en grados sexagesimales de , se tiene la siguiente relación:

Por ejemplo: 1 radián  57,3º y 1º  0,0175 radianes.

Las equivalencias más usuales son:

º
0º
30º
45º
60º
90º
120º
180º
270º
360º
rad
0
/6
/4
/3
/2
2/3

3/22

La medida de un ángulo no se limita a valores comprendidos entre 0º y 360º (0 y 2 en radianes), si la semirrecta que genera el ángulo rota alrededor de su extremo en más de una vuelta en el sentido positivo, la medida del ángulo será mayor que 360º (mayor que 2 radianes). Si la rotación es en el sentido de los punteros del reloj, la medida será negativa.

Conclusión: cada número reales la medida en radianes de un ángulo.

Nota: Si t es la medida del arco que subtiende un ángulo del centro  en una circunferencia de radio r, se tiene que la medida en radianes de  es .

Ejercicios resueltos:

1.- Convertir a radianes: a) 75º , b) – 450º, c) 45,22º

Solución: a) 75º = radianes

b) – 450º = radianes

c) 45,22º  0,251 radianes

2.- Convertir a gradossexagesimales: a) radianes, b) 1,72 radianes.

Solución: a) radianes = = - 105º

b) 1,72 radianes  98,55º = 98º 33

3.- Calcular la medida del arco s que subtiende un ángulo del centro  de 135º en una circunferencia de radio r = 12 cm.

Solución: rad = . Luego s = r rad = 12  28,3 cm.

4.- Si el ángulo del centro  subtiende un arco de 4 cm en una circunferencia de diámetro 14 cm,encontrar la medida aproximada de  en radianes y grados.

Solución: rad = radianes º =  32,74º = 32º 44

5.- Expresar el área de un sector circular en términos del radio y el ángulo comprendido.

Solución: Si r es el radio de la circunferencia
y A,  y s denotan el área, el ángulo y la
longitud del arco del sector circular, de la
geometría sabemos que “las áreas de lossectores son entre sí como los arcos com-
prendidos, es decir,

A : r2 = s : 2r  A = sr  A = r rad r
A = r2 rad

6.- El minutero de un reloj mide 12 cm. ¿Qué distancia ha recorrido su extremo al cabo de 20 minutos?

Solución: En 22 minutos, el minutero describe un ángulo  = 120º = 2/3 radianes, luego la distancia recorrida por su extremo es s = r rad = 12  25,1 cm.

7.-...