Ensayo

FUNDAMENTOS ´ MATEMATICOS ´ DE LA INFORMATICA II ´ (ALGEBRA)

Eduardo Nacimiento Garc´ ıa eduardo@guanches.org http://www.guanches.org

´ Indice general
1. Conjuntos y Relaciones Binarias 2. Grupos 3. Espacios vectoriales 4. Aplicaciones lineales 5. Matrices y Determinantes 2 10 13 17 19

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Cap´ ıtulo 1 CONJUNTOS Y RELACIONES BINARIAS
Def: Partes de un conjunto E P (E) es el conjuntode todos los subconjuntos de E. Operaciones con conjuntos: 1 Intersecci´n: o

Sean A, B conjuntos, A ∩ B = {x/x ∈ A y x ∈ B} Si A, B, C A ∩ B ∩ C ∩ D = (A ∩ B) ∩ C ∩ D Propieades: 1) A ∩ B ⊂ A y B ∩ A ⊂ B 2) A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A 3) Dos conjuntos cuya intersecci´n es vacia se llaman disjuntos (A ∩ B = φ) o 4) A ∩ B = φ ⇔ P (A) ∩ P (B) = {φ} 2 Uni´n: o

Sean A, B conjuntos: A ∪ B = {x/x ∈ A ´ x ∈B} o Propieades: 1) A ∪ B ∪ C ∪ D = (A ∪ B) ∪ C ∪ D 2) A ⊂ A ∪ B y B ⊂ A ∪ B 3) A ∩ B ⊂ A ∪ B 4) A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B

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CAP´ ITULO 1. CONJUNTOS Y RELACIONES BINARIAS Producto Cartesiano de Conjuntos: A ∗ B = {(x, y)/x ∈ A e y ∈ B} Se exitiende de la misma manera a la forma n ´sima: e A1 ∗ A2 ∗ . . . ∗ An = {(x1 , x2 , . . . , xn )/xi ∈ Ai ∀i ≤ n} Son n uplas. Propieades: 1) A ⊂ A y B ⊂ B ⇒ A ∗B ⊂ A ∗ B 2) ∀A, B, D A ∗ (B ∪ D) = (A ∗ B) ∪ (A ∗ D) 3) A ∗ (B ∩ D) = (A ∗ B) ∩ (A ∗ D) 4) A ∗ B = φ ⇔ A = φ ´ B = φ o APLICACIONES: Sean A, B conjuntos. Correspondencia: Todo subconjunto de A ∗ B es una correspondencia de A en B. Aplicaci´n: o

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Una correspondencia de A en B es una aplicaci´n si a cada elemento de o A corresponde exactamente uno en el de B. ∀x ∈ A, ∃!f (x) ∈ B Def: Unaaplicaci´n es Inyectiva si dos elementos diferentes tienen im´genes o a diferentes (es equivalente a decir: a im´genes iguales corresponden antecedentes a iguales). Def: Una aplicaci´n es Sobre, si el conjunto imagen es igual al conjunto final. o ∀a ∈ A, ∃!b ≡ f (a) ∈ B Composici´n de aplicaciones: o g(f (x)) = (g · f )(x) ya que ∀x ∈ A, ∃!f (x) ∈ B y g(f (x)) ∈ C Eso define una aplicaci´n, lacomposici´n: g · f : A → C o o

CAP´ ITULO 1. CONJUNTOS Y RELACIONES BINARIAS Tambi´n se nota: e f g A→B→C ↓ ↑ → g·f → Propiedad: h · (g · f ) = (h · g) · f Conjunto Imagen: Sea f : A → B

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Entonces Imf = f (A) = {f (x)/x ∈ A} = {y ∈ B/∃x ∈ A cony = f (x)} Algunas propiedades de las aplicaciones: 1) f es aplicaci´n : o f :A→B x → f (x) = y f aplicaci´n si ∃x ∈ X/y = f (x) o f (x) = {y/x ∈ A, y ∈B, y = f (x)} 2) Inyectiva: f : A → B; ∀x, x ∈ A, x = x ⇒ f (x) = f (x ) 3) Sobre: f : A → B es sobre si ∀y ∈ B∃x ∈ A/y = f (x) o bien f : A → B es sobre si f (A) = B 3) Biyectiva: Si es sobre e inyectiva, entonces es biyectiva. f : A → B biyectiva si ∀y ∈ B ∃!x ∈ A/y = f (x) Relaciones Binarias: Todo subconjunto del producto cartesiano de un conjunto por si mismo, se llama relaci´n binaria. (x,y) ∈ A ∗ A o Se nota o bien (x, y) ∈ R o bien x R y

CAP´ ITULO 1. CONJUNTOS Y RELACIONES BINARIAS

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Relaciones Binarias de Equivalencia (RBE): Una Relaci´n Binaria en el conjunto A, es una Relaci´n Binaria de o o Equivalencia (RBE) si: 1) Es Reflexiva: es decir ∀x ∈ A, x R x 2) Es Sim´trica: es decir x R y ⇒ y R x e 3) Es Reflexiva: es decir {x R y, R z} ⇒ x R z Def: Sea R una RBE en elconjunto A y a ∈ A. El conjunto de todos los elementos de A relacionados con a, se llama clase de a, y se nota cl(a) o a. ´˜ Propiedades de las Clases: 1) x ∈ cl(a) ⇔ x R a ⇒ a R x ⇔ a ∈ cl(x) Por tanto x R a ⇒ cl(x) = cl(a) Al rev´s: si cl(x) = cl(a), como x {R x, x ∈ cl(x) ⇒ x ∈ cl(a) ⇒ x R a e Luego : x R a ⇔ cl(x) = cl(a) 2) x ∈ cl(x) y cl(x) = φ 3) Dos clases de equivalencia o son disjuntas oson iguales, es decir: ∀a, b ∈ A, cl(a) = cl(b) o cl(a) ∩ cl(b) = φ ´ 4) ∀x ∈ A, x {R x ⇒ ∃ clase de equivalencia que contiene x ya que x incl(x) Por tanto A ⊂ ∪x∈A cl(x) Claro que ∪x∈A cl(x) ⊂ A Luego A = ∪x∈A cl(x) 5) El conjunto de todas las clases cl(x) de una RBE en A, forma una partici´n de A. o En efecto: ∗ ∀x, cl(x) = φ ∗ ∪x∈A cl(x) = A ∗ Si cl(x) = cl(x ), cl(x) ∩ cl(x ) = φ Def: El...