Ensayo

M.Sc. Carlos Alejandro Carreño Colina 1 Notas de clase Estadística Inferencial

1.1 Introducción a las variables aleatorias
1.1.1Variables aleatorias discretas
Definición 1.1.1 Se define una variable aleatoria como una función X :   , es decir, una función que va desde el espacio muestral  hasta el conjunto de los números reales. Definición 1.1.2 Una variable aleatoria se denomina discretasi y sólo si tiene una cantidad infinita o enumerable de valores. Definición 1.1.3 Una variable aleatoria se denomina continua si y sólo si tiene una cantidad finita o no enumerable de valores. Ejemplo 1.1.4 Clasique las siguientes variables aleatorias como discretas o continuas: a. El número de estudiantes que aprobaron la materia de estadística en los últimos 7 semestres. b. La cantidad deagua, en ml, que toma una persona durante una semana. c. La temperatura, en grados, de los días de la semana. d. El número de comparendo que se han realizado en los últimos seis meses en barranquilla.

1.1.2 Variables aleatorias discretas y sus distribuciones de probabilidad.
Ejemplo 1.1.5 Sea X la variables aleatoria que representa el número de caras que resultan luego de lanzar una moneda dosveces.

   C, C  ,  C, S  ,  S , C  ,  S , S  , por tanto
X   C, C    2, X   S , C    1, X   C, S    1, X   S , S    0

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Distribución de probabilidad:

x
P  X  x

0 1 4

1 1 2

2 1 4

Definición 1.1.6 Sea X una variable aleatoria que toma los valores x1 , x2,... definida en un espacio muestral  , entonces el conjunto de pares ordenados f  x  es una función de probabilidad de, si: 1. 2.

f  x  0

 f  x  1
x

3. P  X  x   f  x  . De acuerdo a la definición anterior y teniendo en cuenta el ejemplo 1.1.5, se tiene:

1 4 , x  0 o x  2  1 f  x   , x  1 2 0, de otra forma  
Se pueden verificar las tres condicionespara que f  x  sea una función de distribución de probabilidad.

Definición 1.1.7 La función de probabilidad acumulada de una variable aleatoria discreta se define como F  t   P  X  t  , para todo t que pertenezca a los reales, es decir

F t  

x ; x t

 f  x
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Ejemplo 1.1.8 Si unaagencia automotriz vende el 50% de su inventario de cierto vehículo extranjero equipado con bolsas de aire, entonces halle: a. Una fórmula para la distribución de probabilidad del número de automóviles con bolsas de aire entre los siguientes 4 vehículos. b. La función de distribución acumulada de X y su gráfica. c. El gráfico de barras.

Ejemplo 1.1.9 La distribución de probabilidad de X : númerode imperfecciones por 10 metros de una tela sintética en rollos continuos de ancho uniforme, está dada por:

x P  X  x

0 1 2 3 4 0,41 0,37 0,16 0,05 0,01

Halle: a. La función de distribución acumulada de X y su gráfica. b. El gráfico de barras.

1.1.3 Esperanza y varianza de una variable aleatoria
Definición 1.1.10 La ESPERANZA x1 , x2 ,... , está así: de una variable aleatoriadiscreta X cuyos valores son

  E  X    xk f  xk 
k

Retomando el ejemplo 1.1.5 se tiene que: E  X   0. f  0   1. f 1  2. f  2   E  X   1

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Ejemplo 1.1.11 Una planta industrial grande realiza una campaña para promover el uso compartido del automóvil entre sus empleados. En lasiguiente tabla se registran los datos:

Número de Frecuencia Probabilidad ocupantes f  x Por automóvil 1 425 2 3 4 5 6 235 205 52 22 6

Hallar la esperanza X Definición 1.1.12 La VARIANZA de una variable aleatoria X cuyos valores son x1 , x2 ,... , está así:
2 V  X   E  X 2    E  X    xk f  xk    E  X      2 k 2

Ejemplo 1.1.13 Considérese las condiciones del...