Ensayo

La Derivada

Rectas tangentes

Una recta tangente es aquella que tiene un único punto en común con una curva (el punto de tangencia). Este punto genera la pendiente de la curva.

RectaSecante

Una recta secante es una línea que interseca una curva en dos o más puntos.
Pendiente de una curva: la pendiente de una cuera en un punto P es la pendiente, en caso de que exista, de la rectatangente en P.
mPQ= elevaciondesplazamiento
mPQ = fz-f(a)z-a
Si “h” es la diferencia entre z – a, entonces z es a + h. Se debe tener h ≠ 0, porque si h = 0, entonces z = a y no existiría unarecta secante.

mtan =limz→afz-f(a)z-a=limh→0 fa+h+f(a)h

EJEMPLO 1 determinación de la pendiente de una recta tangente
Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) = x2 enel punto (1,1) a = 1
limh→0 f1+h-f(1)h=limh→0 (1+h)2-(1)2h
=limh→0 1+2h + h2-1h=limh→0 2h+h2h
=limh→0 h2+hh=limh→0 2+h=2
Así que la recta tangente a y = x2 en (1,1) tiene la pendiente igual a2


La derivada de una función “f” es la función, denotada por f’ y definida por

F(x) =limz→xfz-f(x)z-x=limh→0 fx+h-f(x)h

EJEMPLO 2 Uso de la definición para encontrar la derivada
Sif(x) = x2 encuentre la derivada de “f’
limh→0fx+h-f(x)h
limh→0(x+h)2-x2h
limh→02xh+h2h
limh→0h(2x+h)h
limh→02x+h=2x

EJEMPLO 3 Determinación de una ecuación de una recta tangente
Si f(x)= 2x2 +2x + 3 encuentre una ecuación de la recta tangente a la grafica de f en (1,7)

limh→0fx+h-f(x)h
limh→0(2(x+h)2+2x+h+3)-(2x2+2x+3)h
limh→02x2+4xh+2h2+2x+2h+3-2x2-2-3)hlimh→04xh+2h2+2hh=lim⁡(4x+2h+2)
F(x)= 4x + 2
F(1)= 4(1) + 2 = 6

EJEMPLO4 Determinación de la pendiente de una cuerva en un punto
Encuentre la pendiente de la cuerva y = 2x + 3 en el punto donde x = 6
limh→02x+h+3-(2x+3)hlimh→02hh= limh→02=2
EJEMPLO 5 Una función con una recta tangente vertical
Encuentre ddx(x)
Si se establece que f(x) = x
ddxx= limh→0fx+h-f(x)h=limh→0x+h-xh
x+h-xh=x+h-xh*x+h+xx+h+x...