ensayo


MATERIA:

Geometría Analítica

TEMA:

‘’Superficies’’

Proyecto Final

NOMBRE:

Vite Vázquez Luis Alberto

No. DE CUENTA:
41003734-4 GRUPO:1101

SUPERFICIES
1. SUPERFICIE ESFERICA

  La superficie esférica se define como el lugar geométrico de los puntos del espacioque equidistan de un punto fijo. La distancia constante se llama RADIO y el punto fijo CENTRO.
La ecuación de la superficie esférica cuyo centro es el punto (h, k, l)y cuyo radio es la constante “r” es : (x - h)2 + (y - k)2 + (z - l)2 = r2…(1)
La superficie esférica cuyo centro es el origen y cuyo radio es la contante “r” tiene por ecuación: x2 +y2 + z2 = r2.
La ecuación (1) se conoce como laforma ordinaria de la ecuación de la esfera. Si desarrollamos esta ecuación y ordenamos los términos, tenemos una ecuación de la forma: 
x2+y2 + z2 +Gx + Hy + Iz + K = 0… (2).
La ecuación (2) es la llamada forma general de la ecuación de la esfera. Contiene cuatro constantes arbitrarias independientes; por tanto, una superficie esférica queda perfectamente determinada por cuatro condicionesindependientes. Así, por ejemplo, cuatro puntos no coplanares determinan una superficie esférica.
 Ecuación de la esfera (centrada en el origen O):
  x2 + y2 + z2 = R2
  Siendo R el radio de la esfera centrada en el origen.


  Ecuación de la esfera centrada en un punto P(a,b,c):
(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2   

 




2. SUPERFICIE CILINDRICA
Las superficies cilíndricas sonsuperficies generadas por una recta, cuando se desplaza a través de una curva plana, manteniéndose siempre paralela a sí misma.
A dicha recta se la llama generatriz de la superficie y a la curva, directriz.


La ecuación de una superficie cilíndrica de directriz G y generatriz d (paralela a u → (u1, u2, u3) y que corta a la directriz en P0(x0, y0, z0)) se obtiene reemplazando en la ecuación de lacurva directriz las coordenadas de P0, despejadas de la ecuación de d. Entonces, si las ecuaciones de G y d son:

despejando las coordenadas de P0 y reemplazándolas en la ecuación de G se obtiene:


Eliminando t de las ecuaciones anteriores se obtiene la ecuación de la superficie cilíndrica.
3. SUPERFICIE CÓNICA
  Ecuación de la superficie cónica:
 z2 = x2 + y2        (superficie cónica derevolución; las secciones transversales al eje z son circulares)
*    *    *
z2 = m x2 + n y2        (superficie cónica general; las secciones transversales al eje z son elípticas)

Elementos de las cónicas:
Superficie: Una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo.
Generatriz: Lageneratriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.
Vértice: El vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.
Hojas: Las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución.
Sección: Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo deconicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.
4. SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN

Las Superficies de Revolución que trataremos aquí son aquellas que se generan al

girar 360º una curva perteneciente a uno de los planos coordenados alrededor de

uno de los ejes coordenados. Por ejemplo suponga que se tiene la curva y f  z=(Contenida en el plano ZY) y la hacemos girar 360º alrededor del eje y, entonces se

forma una superficie de revolución, observe la figura:



Sea  el área de la parte de la superficie comprendida entre los planos , y . Representemos por  la longitud de la gráfica de  entre  y . Recuerda que . Teniendo en cuenta que el área lateral de un cilindro circular recto es igual a la longitud de la...