ensayo

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INDUCCION
MATEMATICA
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´ SZANT
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EDUARDO SAEZ
, IVAN
O
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DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA

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1. INTRODUCCION
El m´etodo deductivo, muy usado en matem´atica, obedece a la siguiente idea: “
A partir de un cierto conjuntos de axiomas aceptados sin demostraci´on y de reglas
l´ogicas no contradictorias, se deducen otros enunciados llamadosteoremas combinando los axiomas y respetando en cada etapa las reglas l´ogicas”.
Otro m´etodo para demostrar resultados generales que dependen en alg´
un sentido
de los n´
umeros naturales es conocido con el nombre de Inducci´
on Mat´
ematica .
Esta dependencia de los n´
umeros naturales significa: se sabe que una determinada
afirmaci´on es verdadera para algunos casos particulares ysurge la pregunta. ¿ Dicha
afirmaci´on sigue siendo verdadera para los infinitos n´
umeros naturales restante ?.
Existen muchas afirmaciones que s´
olo son v´alidas para un n´
umero finito de casos
y en consecuencia son falsas para un n´
umero infinitos de situaciones. Sin embargo,
podemos encontrar proposiciones (afirmaciones) que son verdaderas s´olo a partir de
un cierto n´
umero naturaln0 , de ser asi, la t´ecnica que se desarrollaremos se llama
Inducci´
on Incompleta. Para demostrar que una proposici´on p(n) , ∀n ∈ M ⊆ N,
es verdadera es necesario comprobar la validez de ella para todos los elementos del
conjunto M . En el caso en que M = N, diremos que es una Inducci´
on Completa.
Si se requiere demostrar la falsedad de una cierta proposici´on p(n), ∀n ∈ M ⊆ N,
essuficiente indicar un elemento particular m ∈ M de manera que p(m) sea falsa.
( Construcci´on de un contra ejemplo).
Ejemplo 1. ∀n ∈ N, n2 − 3n − 1 < 0

Es f´
acil probar que esta desigualdad es verdadera para n = 1, 2, 3. Sin embargo,
para n = 4 no se cumple ya que 42 − 3 · 4 − 1 = 3 > 0. N´
otese que este ejemplo
sencillo muestra que una proposici´
on puede ser verdadera para los primerosn´
umeros
naturales, sin embargo, es falsa , para n´
umeros naturales m´
as grandes.

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Otros ejemplos:
Ejemplo 2. ∀n ∈ N, (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3), es divisible por 5.

Es f´
acil probar que esta proposici´on es verdadera para n = 1, 2, 3. Sin embargo,
para n = 4 no se cumple dado que (2·4−1)(2·4+1)(2·4+3) = 693. no es divisible por 5
Ejemplo 3. (Ejemplo dado por Leonhard Euler (1707-1783)
Consideremos el polinomio cuadr´
atico p(n) = n2 + n + 41 y determinemos su valor
para ciertos n ∈ N
n : 1 2 3 4 5 6 7
8
n2 + n + 41 : 43 47 53 61 71 83 97 113

N´
otese que todos los n´
umeros quese obtienen son primos. Se podr´ıa esperar que
este polinomio cuadr´
atico continua generando n´
umeros primos. Desafortunadamente
no es asi, para n = 40, se tiene 1681 = 412 , que no es un n´
umero primo, luego la
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proposici´
on que ∀n ∈ N, n + n + 41 es un n´
umero primo resulta falsa.
2. Principio de inducci´
on Matem´
atica
Una proposici´
on p(n) es verdadera para todos losvalores de la variable
n si se cumplen las siguientes condiciones :
Paso 1.- La proposici´on p(n) es verdadera para n = 1 , o bien, p(1) es verdadera.
Paso 2.- Hip´
otesis de Inducci´
on . Se supone que p(k) es verdadera , donde k es un
n´
umero natural cualesquiera.
Paso 3.- T´
esis de Inducci´
on. Se demuestra que p(k + 1) es verdadera, o bien,
p(k) verdadera

⇒ p(k + 1) verdadera.La t´ecnica de Inducci´on Matem´atica consiste en los tres pasos anteriores. Si se
necesita demostrar la validez de una proposici´on p(n) para todos los valores naturales
n, entonces es suficiente que se cumplan: Paso 1, Paso 2 y Paso 3 .
Comentario: Intuitivamente la idea anterior se conoce con el nombre de “Efecto
Domin´o”. Si imaginamos una fila infinita de fichas de domin´o: dispuestas...