ensayo

BASES Y DIMENSIÓN
Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema
generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.
Propiedades de las bases.
1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).
2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible).
3. Una basede S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella,
de manera única para cada vector.
Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número de vectores.
Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio.
• Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores independientes que podemos
tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es elmáximo rango que puede tener un
Es también el rango de cualquier sistema generador de dicho espacio.
conjunto de vectoresde dicho espacio.

4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.
Un espacio vectorial complejo V se denomina espacio con producto interno si para cada par ordenado de vectores u y v en V, existe un numero complejo único (u,v), denominado producto interno de uy v, tal que si u, v y w están en V y αϵC, entonces

 La barra es las condiciones v) y vii) denota el conjugado complejo.
Nota. Si (u,v) es real, entonces (u,v)=(u,v) y se puede eliminar la barra en v).

EJEMPLO: producto interno de dos vectores en C3
En C3 sean x=(1+i, -3, 4-3i) y y=(2-i, -i, 2+i). entonces

 Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v están en V. entoncesEn álgebra lineal, una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria. Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la demagnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por un escalarapropiado y de hecho, esta es la forma habitual en la que se obtiene una base ortonormal: por medio de una base ortogonal.
Así, una base ortonormal es una base ortogonal, en la cual la norma de cada elemento que la compone es unitaria.
Estos conceptos son importantes tantopara espacios de dimensión finita como de dimensión infinita. Para espacios de dimensión finita, la condición de span denso es la misma que la de 'span', como se usa en álgebra lineal.
Una base ortonormal por lo general no es una "base", es decir, en general no es posible escribir a cada elemento del espacio como una combinación lineal de un número finito de elementos de la base ortonormal. En elcaso de dimensión infinita, esta distinción cobra importancia: la definición dada requiere solo que el span de una base ortonormal sea densa en el espacio vectorial, y no que iguale al espacio entero.
Una base ortonormal de un espacio vectorial V no tiene sentido si el espacio no posee un producto interno. Un Espacio de Banach no tendrá una base ortonormal a no ser que sea un espacio de Hilbert.Ejemplos
El conjunto {e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)} (la base canónica) forma una base ortonormal de R3.

Demostración: Mediante un cálculo directo se verifica que 〈e1, e2〉 = 〈e1, e3〉 = 〈e2, e3〉 = 0 y que ||e1|| = ||e2|| = ||e3|| = 1. Así, {e1, e2, e3} es un conjunto ortonormal. Para un (x,y,z) cualquiera en R3 tenemos

entonces, {e1,e2,e3} reconstruye R3 y por lo tanto tiene que ser unabase. También puede demostrarse que la base estándar rotada alrededor de un eje que pasa por el origen o reflejada en un plano que pasa por el origen forma también una base ortonormal de R3.

Introducción a las transformaciones lineales
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