Ensayo

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CAPITULO 6

Integral definida
Licda. Elsie Hern´ndez Sabor´ a ıo

Instituto Tecnol´gico de Costa Rica o Escuela de Matem´tica a

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Revista digital Matem´tica, educaci´n e internet (www.cidse.itcr.ac.cr) a o

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Cr´ditos e ´ Rosario Alvarez, 1988. Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac´n y Lisseth Angulo. o Walter Mora. Walter Mora, Marieth Villalobos. escribir awmora2@yahoo.com.mx

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Contenido
6.1 6.2 Introduci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 o La integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6.2.1 Propiedadesfundamentales de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

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6.1

Introduci´n o

Antes de abocarnos al estudio de la integral definida y de la integral indefinida, daremos una peque˜a semblanza n hist´rica de la relaci´n entre el c´lculo diferencial y el integral. o o a A continuaci´n transcribiremos algunos de los p´rrafos al respecto tomados del libro LaMatem´tica: su cono a a tenido, m´todos y significado (que se menciona en la bibliograf´ e ıa). Durante la segunda mitad del siglo XV II, Newton y Leibniz dieron un paso decisivo en la matem´tica de las a magnitudes variables, al sentar las bases del c´lculon diferencial e integral. ”Este fue el verdadero comienzo a del an´lisis, puesto que el objeto de este c´lculo son las propiedades de las funcionesmismas, distinto del oba a jeto de la geometr´ anal´ ıa ıtica que son las figuras geom´tricas. De hecho, lo que hicieron Newton y Leibniz e fue completar esa cantidad inmensa de trabajo que hab´ desarrollado hasta entonces muchos matem´ticos ıan a y que se extend´ hasta los m´todos de determinaci´n de ´reas y vol´menes empleados por los antiguos griegos”. ıa e o a u ”Aqu´ solo queremos llamar laatenci´n acerca de los or´ ı o ıgenes de este c´lculo, que fueron principalmente los a nuevos problemas de la mec´nica y los viejos problemas de la geometr´ consistentes estos ultimos en la detera ıa, ´ minaci´n de tangentes a una curva dada y el c´lculo de ´reas y vol´menes. Estos problemas geom´tricos hab´ o a a u e ıan sido ya estudiados por los antiguos (basta mencionar a Arqu´ ımides), y tambi´npor Kepler, Cavalieri, y otros, a e principios del siglo XV II. Pero el factor decisivo fue el descubrimiento de una notable relaci´n entre estos dos o tipos de problemas y la formulaci´n de un m´todo general para resolverlos; tal fue la obra de Newton y Leibniz. o e Esta relaci´n, que permiti´ conectar los problemas de la mec´nica con los de la geometr´ fue descubierta gracias o o a ıa, a laposibilidad (brindada por el m´todo de coordenadas) de hacer una representaci´n gr´fica de la dependencia e o a de una variable respecto a la otra, o, en otras palabras, de una funci´n. Con la ayuda de esta representaci´n o o gr´fica es f´cil formular la relaci´n antes mencionada entre los problemas de la mec´nica y la geometr´ (relaci´n a a o a ıa o que fue el origen del c´lculo diferencial e integral)y describir as´ el contenido general de estos dos tipos de c´lculo. a ı a El c´lculo diferencial es, b´sicamente, un m´todo para encontrar la velocidad de un movimiento cuando se a a e conoce la distancia recorrida en un tiempo dado. Este problema se resuelve por ”derivaci´n” y es completao mente equivalente al problema de dibujar una tangente a la curva que representa la dependencia de ladistancia respecto del tiempo. La velocidad en el instante t es igual a la pendiente de la tangente a la curva en el punto correspondiente a t.

El c´lculo integral es en esencia un m´todo para encontrar la distancia recorrida cuando se conoce la velocidad, a e y en general, de encontrar el resultado total de la acci´n de una magnitud variable. Evidentemente, este probo

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