Ensayo

Serie de Taylor. Una serie de potencias de x convergente se adapta bien al propósito de calcular el valor de la función que representapara valores pequeños de x (próximos a cero). Ahora deduciremos un desarrollo de potencias de x - a (véase el Artículo 193), siendo a unnúmero fijo. La serie que así se obtiene se adapta al objeto de calcular la función que representa para valores de x cercanos
a a. Supóngase que(1) f (x) =bo + b1 + (X – a)+ b2(x – a)2+ ... +bn(x – a)n+ ... ,

y que la serie representa la función. La forma necesaria delos coeficientes bo b1 , etc., se obtiene como en el Artículo 194, es decir, derivando sucesivamente (1) con respecto a x , suponiéndose queesto es posible. Así tenemos

f'(x)=bl+2b2(x-a)+ ... +nbn(x-a)n-l+ ,
f"(x) = 2b2+ ...+n(n-1)bn(x-a)n-2+ ,

etcétera. Sustituyendo x = a en estas ecuaciones y en (1) y despejando a
b0 b1 b2 obtenemos.
b0 = f a,b1= f' (a) ,

b2f''(a)2,…, bn=fn(a)n

Sustituyendo estos valores en (1), el resultado es la serie
(B) f(x) = f (a) + f'(a) x- a1 + f"(a) (x- a)22 +…+fn (a) (x- a)nn
La serie se llama serie (o fórmula) de Taylor. *

La serie infinita (B) representa la función paraaquellos valores de x, y solamente para aquellos, para los cuales el residuo tiende a cero cuando el número de términos aumenta infinitamente.