ensayo1

Practica 3 Propagación de Incertidumbres
Medición indirecta. Incertidumbres en cantidades calculadas

En la práctica anterior nos hemos ocupado solamente del concepto de incertidumbre de una magnitud que medimos directamente. Sin embargo, generalmente el proceso de medición es indirecto, es decir, el resultado que deseamos es una combinación de dos o más magnitudes, o es por lo menos unafunción calculada a partir de una sola magnitud. Por ejemplo, supóngase que se quiere determinar el volumen de un cilindro midiendo su radio y su altura, o el volumen de una esfera midiendo su radio. Las incertidumbres asociadas con las magnitudes medidas directamente se propagan al resultado de la medida final. Nuestro objetivo ahora es mostrar cómo hallar la incertidumbre de magnitudesrelacionadas con otras magnitudes medidas directamente a partir de las incertidumbres de estas últimas.
Supongamos primero que queremos saber el error de una magnitud  que es el producto de una constante por una magnitud que medimos , con su respectiva incertidumbre1  . O sea,  con  constante (un ejemplo de esto es la relación del perímetro del círculo p con su diámetro d de la forma ). Eneste caso el error  será

Supongamos ahora que queremos medir una cierta magnitud z que depende de las magnitudes x e y (cuyas incertidumbres son y , respectivamente) de la forma . Recordamos de cursos de laboratorio en secundaria que en este caso el error δz se puede calcular como
. [1]
Si la dependencia fuera de la formaz=x-y, el error sería también
 . [2]
Supongamos ahora que queremos hallar el error del producto z=xy. En este caso el error lo podemos escribir como
. [3]
Si fuera, en cambio,  el error sería
 [4]
Notemos que estasrelaciones tienen mucho que ver con las fórmulas de derivadas para las respectivas dependencias funcionales. Esto lo podemos ver escribiendo la dependencia  como caso particular en donde . Supongamos entonces que . Según la fórmula [3] el error  será
.
Esta fórmula la podemos obtener hallando2  O sea, las formulas [1], [2], [3] y [4] se deducen a partir de las derivadas parciales derespecto a  e .

Ejemplos de propagación de errores

(a) Supongamos que deseamos medir el área  de un rectángulo a partir de las medidas directas de su largo  y de su ancho .
Según lo anterior, la incertidumbre absoluta en la medida del área, debido a las incertidumbres absolutas  y  en las medidas del largo y del ancho respectivamente, será:


La incertidumbrerelativa3 en la medida del área será:


(b) Si deseamos medir el volumen de un cilindro realizando las medidas directas de su diámetro  y de su altura , la incertidumbre absoluta en la medida del volumen será:


Donde  y  son las incertidumbres absolutas en las medidas del diámetro y la altura respectivamente.
(c) Supongamos que necesitamos hallar el volumen de un paralepípedorectángulo cuyas dimensiones son:  largo, a ancho,  altura. Para ello se procede a tomar cinco medidas para cada una de estas dimensiones, con una regla graduada hasta milímetros. Los datos están consignados en la siguiente tabla:

Dimensión
LARGO (cm)
9,23
9,25
9,22
9,30
9,18
ANCHO (cm)
4,32
4,38
4,35
4,35
4,34
ALTURA (cm)
6,54
6,50
6,48
6,52
6,46

Observe que nos hemospermitido tratar de “acertar” visualmente (siendo lo más cuidadosos posible) las décimas de milímetro que no las resuelve la regla (esto ya lo hemos justificado en la práctica anterior). Otros autores preferirán no hacer esto; es decir, no permitirán colocar la cifra dudosa. En nuestro caso reportaremos los siguientes resultados:
Dimensión
Media
Incertidumbre
Resultado
LARGO (cm)
9,24
0,03
9...