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Apuntes de la Cátedra:



ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA












Ing. Rodolfo Iturraspe Profesor Adjunto
Prof. Juana Candia J. de Trabajos Prácticos
Ing. Sergio Luppo Auxiliar de Primera





Años 1999-2003
VECTORES EN R2 Y R3
Contenidos:
Segmentos orientados y vectores. Suma. Propiedades. Distancia entre vectores. Vectorunitario. Vectores canónicos Producto por un escalar. Cosenos directores. Producto escalar. Propiedades y aplicaciones. Proyecciones ortogonales. Producto vectorial. propiedades y aplicaciones. Producto mixto. Interpretación geométrica del producto vectorial y producto mixto. Ecuación de la recta en el espacio. Formas vectorial, paramétrica y simétrica. Ecuación del plano en el espacio. Intersecciones.Vectores en el Plano

Hay una concepción geométrica del significado de un vector y una concepción algebraica, ambas compatibles.

Segmento dirigido PQ es el segmento de recta con origen en P y extremo en Q. Notar que PQQP.







Dos segmentos dirigidos son equivalentes si y sólo si tienen igual módulo, dirección y sentido.  PQ  P’Q’
Se puede considerar que existen en el plano infinitos vectores equivalentes a un segmento dirigido PQ. Denominaremos vector PQ, o vector v a todo elemento de ese conjunto.
Los dos segmentos representados son representantes del vector v. 1

v se representa trasladando PQ al origen de coordenadas de R2

En estas condiciones vadmite una expresión como par ordenado en donde el par ordenado indica las coordenadas de su extremo v = (a,b).
a y b se denominan también componentes del vector v. Este concepto es más utilizado desde el punto de vista algebraico.

El módulo de v es un número real que representa su longitud
|v| = a2 + b2 (por consecuencia directa de Pitágoras)



Ejercicio:
Demuestre que:
| v |= 0  v = 0

La dirección de v define un ángulo  entre v y la dirección del eje horizontal x (llamado también eje de las absisas) en su sentido positivo. Dos vectores tienen igual dirección si y sólo si sus ángulos respectivos con dicho eje son iguales. En tal caso se dice que son paralelos.
El vector nulo no tiene dirección ni sentido.
Si v es no nulo y v1 = 0   = 2
Si v es nonulo y v1  0   = arc tag( b/a)

El sentido es comparable entre vectores paralelos:
Dos vectores paralelos u = (u1,u2) y v = (v1,v2) tienen igual sentido si con un origen común generan la misma semirrecta. O bien desde un punto de vista algebraico y en caso de componentes no nulas, si u1/v1 >0 y u2/v2>0. Si los cocientes son negativos, sus sentidos son opuestos. (además, al ser //resulta u1/v1 = u2/v2)

Suma de vectores

u + v = (u1,u2) + (v1, v2) = ((u1+v1),(u2+v2))


















Resta







Distancia entre dos vectores

La distancia entre u y v debe interpretarse como la distancia entre sus extremos, cuando están aplicados en un mismo origen. Tendremos en cuenta que podemos representar los elementos de R2 como vectores o como puntosdel plano.
En el gráfico anterior se aprecia que la distancia entre los extremos de u y de v es | u – v |.
Esto resulta práctico para determinar distancias entre puntos del plano, y el concepto puede extenderse a R3.
Ejemplo:
Sean p1 = ( -2, 7) y p2 = ( -6, 4 )
Determinar la distancia entre ambos puntos.

Basta considerar a los puntos como vectores:
d p1p2= | p1-p2| = | 4 , 3 |= 5

Producto de un vector por un escalar
Sea   R y v  R2:  v = ( v1,  v2)

| v | = | | | v | ya que
.
| v | = +  ( v1)2 + ( v2)2 = +  2 (v12 + v22 ) = | | |v |

La dirección de v no varía si   0:
Sean  y ’ los ángulos que definen las...