Ensayos Sobre La Ingenieria Civil

Ejercicios: Sol:

ECUACIO EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES NO LINEALES Profesor: Jaime Álvarez Maldonado Ayudante: Rodrigo Torres Aguirre )| 1) Sea la ecuación ), donde g satisface | 1 , ) )| | | a) Probar que también se cumple | b) Demostrar que si se cumple la condición en a), la ecuación lo mas, una solución en el intervalo , . a) Del problema de punto fijo )
) )

Universidad deSantiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de Matemática y Ciencias de la Computación

)| , por lo que podemos relacionar la resta entre Se sabe por el enunciado que | 2 problemas de punto fijo con el T.V.M., entonces se tendría que: | Por lo tanto | Queda probado. ) )| | b) Se desea demostrar que ) )|| )| | | | ) tiene 1 sola solución en | | , , . , .

Ocuparemos el T.V.M. Teorema de ValorMedio), el cual está dado por: | || )| | ) )|

Si se restan queda: |

Se tiene que )| la condición de |

)

|

1

|

,

)

,

) se desprende que: )|

.

), y que la función g x) satisface ) )

, . , , . ), tiene a

Suponiendo que existen en g x) 2 puntos fijos o soluciones), entonces: ) ) | que: | | Al ser restados queda: | ) )|). || | )| )| | | | , ahora aplicamos TVM || | | | , y por el enunciado principal | || )| )|

|

Siendo que L está entre 0,1 , la ecuación anterior resulta ser una contradicción  Entonces, se concluye que para g x) existe un único punto fijo en el intervalo , , )| siempre y cuando se cumpla la condición de que | 1 , , .

|

|

|

)||

|

), se tiene

)

Sol:

2) La ecuación 2 24 61 16 1 0 tiene dos raíces cerca de0.1 (0.1213203436; 0.1231056256), encuéntrelas mediante el método de NewtonRaphson.

El método de N-R, es el método iterativo que requiere de la función, su derivada y un punto de inicio, la formula está dada por:
( ( ) )

; n 0, 1,2,…. 61 16 1

Entonces: ( ) ( ) 2 8

24

Al reemplazar los datos, se obtiene: 2 8 24 72 61 122

Con

0.1

72

122

16

16

Entonces lasiteraciones son: ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ 0.1111328125 0.11664780053787 0.11936143263559 0.12064808476922 0.12117604663885 0.12131031004941 0.12132028783201 0.12132034355771

16

1

Ahora buscaremos la otra raíz, tomando como punto de inicio ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ 0.12616290927433 0.1242900624559

Aproximación a la raíz buscada (0.1213203436) 0.13

0.12344358909839 0.12315206375549 0.1231067745490.12310562635671 0.1231056256179

Aproximación a la raíz buscada (0.1231056256)

3) Demuestre que al usar el método de Newton-Raphson, para aproximar el reciproco ), 2 0,1 … de un numero S, S>0 se obtiene la formula iterativa Calcular usando el algoritmo. Sol: El algoritmo de N-R, esta dado por El reciproco de un número S, es: ) 1
) )

)

0

Ahora reemplazamos los datos en la ecuación de N-R
)

)2 2
Entonces: 2 )

)

Para calcular 1/17, por el algoritmo encontrado, se considera S 17, por lo tanto, la ecuación quedaría: 2 17 )

Se sabe que 1/17 está entre 0 y 0.1. Por lo que consideraremos como punto de inicio Las iteraciones queda igual a: ₁ ₂ ₃ ₄ 0.0575 0.05879375 0.058823514335938 0.058823529411764 0.05

El error absoluto de ₃ es: ₃) ₃) | ₄ ₃| |0.0588235294117640.058823514335938| 1.5075826*10

1.5075826*10 < ℰ 10 0.058823529411764 que es una aproximación

Después de 4 iteraciones se llego a ₄ < ℰ 10 . de con un f ₄ 0.058823529411764 ) 0

₄ es raíz de f x) con S 17

4) Determine el intervalo de convergencia del método de Newton-Raphson cuando se ) 2 aplica a la función Sol: Para aplicar el algoritmo de Newton-Raphson, se tiene: ) ) 2 1 3

2 ln 2 Derivadaimplícita)

Entonces: 2

)

)

1

ln 2 2

ln 2 2

ln 2)

2

1 3

2

ln 2)

1
Según la propiedad | Entonces: 1 - 1 ……… 6 > 2 >0 /*Ln ln 6 > ln 2 > ln 0/*-1 ln 0 [ , ∞] , ∞] 1 1 1 )| 1

Por lo tanto el intervalo de convergencia es [

Se necesita saber la función a la cual se le aplicará el método de N-R, su derivada y el punto de inicio del algoritmo dentro de un...